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Nodi (numeri di)

Matematica combinatoria  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Invarianti e proprietà dei nodi
  3. 3. Polinomi associati ai nodi

Nel tentativo di classificare i nodi, sono stati scoperti polinomi associabili agli stessi e costruibili in tempo abbastanza veloce a partire dalla sequenza di incroci; la speranza era di trovare un polinomio che potesse identificare unicamente i nodi, ossia tale che da essere diverso per nodi diversi, ma purtroppo finora non ne è stato trovato alcuno. A polinomi diversi corrispondono nodi diversi, ma non sempre vale l’inverso, però i polinomi semplificano notevolmente il lavoro di classificazione, perché se dati due nodi si dimostra che i loro polinomi sono diversi, si sa con certezza che i nodi non sono equivalenti.

Questi polinomi sono invarianti dei nodi, ossia non dipendono dalla particolare rappresentazione del nodo; il modo più semplice per dimostrarlo è spesso dimostrare che non cambiano applicando le tre mosse di Reidemeister.

 

In generale questi polinomi possono essere calcolati esaminando gli incroci di un nodo uno per volta: dato un incrocio, si chiamano N+ il nodo originale, N il nodo ottenuto invertendo l’incrocio (ossia facendo passare sotto l’arco che nel nodo originale passava sopra) e N0 il nodo ottenuto tagliando i due archi che si incrociano e riannodando i capi in modo da eliminare l’incrocio, come nella figura seguente.

 

Tipi di incroci utilizzati nella definizione dei polinomi

 

I nodi vanno considerati orientati, nel senso che esiste una direzione nella quale si percorre il nodo, indicata dalla freccia.

Ogni categoria di polinomi definisce una relazione tra i polinomi associati ai tre nodi, che, combinata col polinomio corrispondente all’anello semplice, permette di costruire il polinomio di qualsiasi nodo. In generale, infatti, si può scegliere un incrocio N+ (o N), tale che l’incrocio N (o N+) corrisponda a un nodo con meno incroci, mentre N0 ha sicuramente almeno un incrocio in meno; si ricava quindi il polinomio corrispondente al nodo originale a partire da due corrispondenti a nodi con meno incroci. Si può allora costruire una tabella di polinomi, corrispondenti a nodi con un numero crescente di incroci.

Gli stessi polinomi sono utilizzati per la classificazione delle catene.

 

Il polinomio di Alexander AN(x) di un nodo N è un polinomio razionale (ossia esprimibile come quoziente di polinomi) definito da James Waddell Alexander (Sea Bright, USA, 19/9/1888 – 23/9/1971) nel 1928.

I polinomi di Alexander sono storicamente importanti perché furono il primo metodo relativamente semplice, anche se non sempre efficace, per distinguere nodi non equivalenti e aprirono la via alla ricerca di metodi analoghi, ma migliori.

Questi polinomi possono essere definiti tramite la relazione Formula per la definizione dei polinomi di Alexander, scoperta da J.H. Conway (Alexander definì i polinomi in un altro modo, tecnicamente molto più complesso).

Il numero di operazioni necessarie per calcolare il polinomio di Alexander di un nodo aumenta come una potenza del numero di incroci.

Per qualsiasi nodo N vale AN(1) = ±1.

I polinomi di Alexander restano invariati scambiando x con 1 / x, quindi possono essere espressi come Espressione dei polinomi di Alexander.

Esistono nodi diversi con lo stesso polinomio di Alexander, addirittura esistono vari nodi (con almeno 11 incroci) per i quali il polinomio di Alexander è semplicemente 1, come per il semplice anello.

I polinomi di Alexander non permettono neppure di distinguere tra un nodo e la sua immagine speculare.

La tabella seguente mostra i polinomi di Alexander dei nodi con fino a 7 incroci.

Nodo

Polinomio di Alexander

0

1

31

Polinomio di Alexander del nodo 3(1)

41

Polinomio di Alexander del nodo 4(1)

51

Polinomio di Alexander del nodo 5(1)

52

Polinomio di Alexander del nodo 5(2)

61

Polinomio di Alexander del nodo 6(1)

62

Polinomio di Alexander del nodo 6(2)

63

Polinomio di Alexander del nodo 6(3)

71

Polinomio di Alexander del nodo 7(1)

72

Polinomio di Alexander del nodo 7(2)

73

Polinomio di Alexander del nodo 7(3)

74

Polinomio di Alexander del nodo 7(4)

75

Polinomio di Alexander del nodo 7(5)

76

Polinomio di Alexander del nodo 7(6)

77

Polinomio di Alexander del nodo 7(7)

Per una catena formata da anelli separati il polinomio di Alexander è nullo, se il numero di anelli è maggiore di 1.

 

Il polinomio di Conway CN(x) di un nodo N fu definito da J.H.C. Conway tramite la relazione Formula per la definizione dei polinomi di Conway, per evitare di avere la variabile indipendente a denominatore.

La tabella seguente mostra i polinomi di Conway dei nodi con fino a 7 incroci.

Nodo

Polinomio di Conway

0

1

31

x2 + 1

41

x2 + 1

51

2x2 + 1

52

x4 + 3x2 + 1

61

x4 + x2 + 1

62

x4x2 + 1

63

–2x2 + 1

71

x4x2 + 1

72

x4 + x2 + 1

73

2x4 + 4x2 + 1

74

3x2 + 1

75

2x4 + 5x2 + 1

76

4x2 + 1

77

x6 + 5x4 + 6x2 + 1

I polinomi di Conway possono anche essere definiti tramite la relazione CN+(x) – CN(x) = xCN0(x).

I polinomi di Conway hanno le stesse limitazioni di quelli di Alexander; in particolare non permettono di distinguere un nodo dalla sua immagine speculare.

Per una catena formata da anelli separati il polinomio di Conway è nullo, se il numero di anelli è maggiore di 1.

 

Il polinomio di Jones JN(x) di un nodo N è un polinomio razionale definito da Vaughan F.R. Jones nel 1985 tramite la relazione Formula per la definizione dei polinomi di Jones.

Per qualsiasi nodo N valgono le formule Relazione soddisfatta dai polinomi di Jones e Relazione soddisfatta dai polinomi di Jones.

Se N* è l’immagine speculare del nodo N, Relazione tra il polinomio di Jones di un nodo e quello della sua immagine speculare; a differenza dei polinomi di Alexander e di Conway, quelli di Jones permettono quindi molto spesso di distinguere tra un nodo e la sua immagine speculare.

Il polinomio di Jones resta invariato se si inverte l’orientazione di un nodo, ossia lo si percorre in senso inverso.

Il polinomio di Jones di un nodo toroidale T(p, q) è Polinomio di Jones del nodo toroidale T(p, q).

Per la somma di nodi vale JN1 # N2(x) = JN1(x)JN2(x).

Per qualsiasi nodo o catena N vale JN(–1) = A(–1).

Per una catena C con n componenti JC(1) = 2n – 1 e in particolare per un nodo N JN(1) = 1.

Il polinomio di Jones di una catena formata dai nodi N1 e N2 separati è Polinomio di Jones di una catena formata dai nodi N1 e N2 separati e in particolare il polinomio di Jones di n anelli separati è Polinomio di Jones di di n anelli separati.

Anche nel caso dei polinomi di Jones esistono nodi con diverso numero di incroci che hanno lo stesso polinomio.

La tabella seguente mostra i polinomi di Jones dei nodi con fino a 7 incroci.

Nodo

Polinomio di Jones

0

1

31

x4 + x3 + x

41

Polinomio di Jones del nodo 4(1)

51

x6 + x5x4 + 2x3x2 + x

52

x7 + x6x5 + x4 + x2

61

Polinomio di Jones del nodo 6(1)

62

Polinomio di Jones del nodo 6(2)

63

Polinomio di Jones del nodo 6(3)

71

Polinomio di Jones del nodo 7(1)

72

Polinomio di Jones del nodo 7(2)

73

x9 + 2x8 – 3x7 + 3x6 – 3x5 + 3x4x3 + x2

74

x8 + x7x6 + 2x5 – 2x4 + 2x3x2 + x

75

x9 + x8 – 2x7 + 3x6 – 2x5 + 2x4x3 + x2

76

x8 + x7 – 2x6 + 3x5 – 2x4 + 3x3 – 2x2 + x

77

x10 + x9x8 + x7x6 + x5 + x3

 

I polinomi HOMFLY HN(a, x) sono una generalizzazione dei polinomi di Jones; il nome si deve alle iniziali dei cognomi degli ideatori: J. Hoste, A. Oceanu, K. Millett, P. Freyd, W.B.R. Lickorish, e D. Yetter (1985).

Sono polinomi razionali in due variabili non omogenei definiti dalla relazione Formula per la definizione dei polinomi HOMFLY. Possono anche essere definiti come polinomi razionali omogenei in tre variabili tramite la relazione xHN+(x, y, z) + yHN(x, y, z) + yHN0(x, y, z) = 0.

Se N* è l’immagine speculare del nodo N, Relazione tra il polinomio HOMFLY di un nodo e quello della sua immagine speculare, quindi come i polinomi di Jones, quelli HOMFLY permettono molto spesso di distinguere tra un nodo e la sua immagine speculare.

Per la somma di nodi vale HN1 # N2(a, x) = HN1(a, x)HN2(a, x).

I polinomi HOMFLY sono legati a quelli di Alexander dalla relazione Relazione tra il polinomio di Alexander di un nodo e il polinomio HOMFLY dello stesso nodo, a quelli di Conway dalla relazione CN(x) = HN(1, x) e a quelli di Jones dalla relazione Relazione tra il polinomio di Jones di un nodo e il polinomio HOMFLY dello stesso nodo.

Purtroppo possono esistere infiniti nodi con lo stesso polinomio HOMFLY e gli stessi condividono anche lo stesso polinomio di Jones.

Il polinomio HOMFLY di una catena formata dai nodi N1 e N2 separati è Polinomio HOMFLY di una catena formata dai nodi N1 e N2 separati e in particolare il polinomio HOMFLY di n anelli separati è Polinomio HOMFLY di di n anelli separati, o Polinomio HOMFLY di di n anelli separati, nella versione a tre variabili.

La tabella seguente mostra i polinomi HOMFLY dei nodi con fino a 7 incroci.

Nodo

Polinomio HOMFLY

0

1

31

a2x2a4 + 2a2

41

Polinomio HOMFLY del nodo 4(1)

51

(a4 + a2)x2a6 + a4 + a2

52

a4x4 + (–a6 + 4a4)x2 – 2a6 + 3a4

61

Polinomio HOMFLY del nodo 6(1)

62

a2x4 + (a4 – 3a2 + 1)x2 + a4 – 2a2 + 2

63

Polinomio HOMFLY del nodo 6(3)

71

Polinomio HOMFLY del nodo 7(1)

72

a2x4 + (2a4 – 2a2 + 1)x2a6 + 2a4a2 + 1

73

(a6 + a4)x4 + (–a8 + 2a6 + 3a4)x2a8 + 2a4

74

(a6 + a4 + a2)x2a8 + a6 + a2

75

(a6 + a4)x4 + (–a8 + 3a6 + 3a4)x2 – 2a8 + 2a6 + a4

76

(a6 + 2a4 + a2)x2a8 + 2a4

77

a6x6 + (–a8 + 6a6)x4 + (–4a8 + 10a6)x2 – 3a8 + 4a6

 

I polinomi BLM/Ho BN(x) prendono il nome dai lavori di C.F. Ho nel 1985 e di R.D. Brandt, W.B.R. Lickorish e K.C. Millet nel 1986.

Questi polinomi possono essere calcolati eliminando gli incroci di un nodo uno per volta, senza definire un senso di percorrenza: dato un incrocio di un nodo N, si chiamano N1 e N2 i nodi ottenuti tagliando i due archi che si incrociano e riannodando i capi in modo da eliminare l’incrocio nei due modi possibili, come nella figura seguente.

 

Tipi di incroci utilizzati nella definizione dei polinomi BLM/Ho

 

Sono polinomi a coefficienti interi, razionali nel caso delle catene, definiti dalla relazione BN+(x) + BN(x) = x(BN1(x) + BN2(x)); il loro grado è inferiore al numero di incroci del nodo.

Se N è un nodo con numero di ponti uguale a 2, Relazione soddisfatta dal polinomio BLM/Ho di un nodo con numero di ponti uguale a 2 (T. Kanenobu e T. Sumi, 1993).

Il grado del polinomio BLM/Ho di una catena C non è maggiore di I(C) – K(C) e in particolare è I(C) – 1, se C è alternante (Mark. E. Kidwell, 1987). Il grado può essere inferiore a I(C) – K(C) per nodi con più di 9 incroci; in particolare è stato dimostrato che è inferiore per qualsiasi rappresentazione della coppia di Perko (A. Stoimenov).

Il valore minimo di I(C) – K(C) non si raggiunge necessariamente con il diagramma col minimo numero di incroci: si conosce un nodo, rappresentabile in un unico modo con 15 incroci e un ponte di lunghezza 2, per il quale il minimo si raggiunge con una rappresentazione con 16 e un ponte di lunghezza 4; il suo polinomio BLM/Ho ha grado 12.

Se una rappresentazione di una catena C ha un ponte di lunghezza maggiore di I(C) / 3, la si può rappresentare con un diagramma con un numero di incroci minore, senza aumentare la differenza I(C) – K(C) (A. Stoimenov).

Il termine di grado I(C) – 1 del polinomio BLM/Ho di una catena prima alternante C ha un coefficiente maggiore di zero (Mark. E. Kidwell, 1987).

Il polinomio BLM/Ho dell’anello semplice è 1; non è noto se esistano altri nodi (non alternanti) con lo stesso polinomio.

Per la somma di nodi vale BN1 # N2(x) = BN1(x)BN2(x).

Un nodo e la sua immagine speculare hanno lo stesso polinomio BLM/Ho.

Nel polinomio BC(x) BLM/Ho di una catena C con n > 1 componenti la minima potenza di x che compare ha esponente 1 – n. Per il polinomio vale Limite che coinvolge il polinomio BLM/Ho di una catena e BC(x) – 1 e divisibile per 2(x – 1).

 

La tabella seguente mostra i polinomi BLM/Ho dei nodi con fino a 7 incroci.

Nodo

Polinomio BLM/Ho

0

1

31

2x4 + 2x2 – 3

41

2x6 + 4x4 – 2x2 – 3

51

2x8 + 4x6 – 2x4 – 4x2 + 1

52

2x8 + 2x6 – 6x4 – 2x2 + 5

61

2x10 + 8x8 + 4x6 – 12x4 – 6x2 + 5

62

2x10 + 6x8 – 10x4 – 2x2 + 5

63

2x10 + 4x8 – 4x6 – 6x4 + 4x2 + 1

71

2x12 + 10x10 + 10x8 – 14x6 – 18x4 + 6x2 + 5

72

3x12 + 8x10 + 8x8 – 10x6 – 12x4 + 2x2 + 5

73

2x12 + 6x10 + 2x8 – 6x6 – 4x4 + 1

74

2x12 + 4x10 – 6x8 – 10x6 + 8x4 + 6x2 – 3

75

2x12 + 4x10 – 4x8 – 6x6 + 6x4 + 2x2 – 3

76

2x12 + 6x10 – 12x6 – 4x4 + 8x2 + 1

77

2x12 + 2x10 – 10x8 – 6x6 + 16x4 + 4x2 – 7

 

Una categoria particolare di polinomi associati ai nodi è quelle dei cosiddetti polinomi “braket”, dal termine inglese per le parentesi angolari, perché indicati come <N>(t). Non sono invarianti, perché non restano inalterati eseguendo la prima delle tre mosse di Reidemeister, però a partire da essi si possono ricavare polinomi invarianti tramite trasformazioni abbastanza semplici.

Anche questi polinomi possono essere calcolati eliminando gli incroci di un nodo uno per volta, ma non è necessario definire un senso di percorrenza: dato un incrocio di un nodo N, si chiamano N1 e N2 i nodi ottenuti tagliando i due archi che si incrociano e riannodando i capi in modo da eliminare l’incrocio nei due modi possibili, come nella figura seguente.

 

Tipi di incroci utilizzati nella definizione dei polinomi braket

 

I polinomi braket sono definiti dalla relazione Relazione per la definizione dei polinomi braket; eliminando gli incroci uno alla volta si arriva alla fine all’anello semplice, che ha polinomio braket uguale a 1, poi si ricostruisce il polinomio del nodo iniziale.

Il polinomio braket <T(2, n)>(x) di un nodo toroidale T(2, n) è dato dalla ricorrenza Polinomio braket del nodo T(2, 1), Ricorrenza per il calcolo del polinomio braket del nodo T(2, n).

Il polinomio braket dell’immagine speculare di un nodo si ottiene sostituendo x con 1 / x nel polinomio braket del nodo.

 

I polinomi di Kauffman sono polinomi razionali in due variabili, definiti da Louis H. Kauffman nel 1985 come generalizzazione dei polinomi di Jones; possono essere definiti a partire dall’anello semplice, che ha polinomio uguale a 1, definendo prima un polinomio ausiliario FN(a, x) tramite le relazioni FN+(a, x) + FN(a, x) = x(FN1(a, x) + FN2(a, x)), FNA(a, x) = aFL(a, x), Formula per la definizione dei polinomi ausiliari di Kauffman, dove N+, N, N1 e N2 sono gli incroci utilizzati nella definizione dei polinomi BLM/Ho (v. sopra), mentre NA, NB e L sono gli incroci mostrati nella figura seguente.

 

Tipi di incroci utilizzati nella definizione dei polinomi di Kauffman

 

Il polinomio di Kauffman KN(a, x) è quindi definito come Formula per la definizione dei polinomi di Kauffman, dove C(N) è il numero di contorsioni del nodo N.

I polinomi di Kauffman sono legati ai polinomi braket dalla relazione Relazione tra il polinomio braket di un nodo e il polinomi di Kauffman dello stesso nodo, dove C(N) è il numero di contorsioni del nodo N.

I polinomi di Kauffman sono legati ai polinomi di Jones dalla relazione Relazione tra il polinomio di Jones di una catena e il polinomio di Kauffman della stessa catena, dove n(C) è il numero di anelli della catena, uguale a 1 nel caso di un nodo.

I polinomi di Kauffman sono anche una generalizzazione dei polinomi BLM/Ho, legati a questi dalla relazione BN(x) = KN(1, x).

Analogamente a quanto succede per i polinomi BLM/Ho, Il grado rispetto a x del polinomio di Kauffman di una catena C non è maggiore di I(C) – K(C), dove K(C) è la massima lunghezza di un ponte di C.

Sfortunatamente il calcolo del polinomio di Kauffman di un nodo è un problema almeno NP, quindi non si conosce alcun algoritmo il cui tempo di calcolo non cresca esponenzialmente col numero di incroci e potrebbe non esisterne alcuno.

Non è noto se esistano nodi diversi dall’anello semplice con polinomio di Kauffman uguale a 1, né se il numero di nodi aventi lo stesso polinomio di Kauffman sia sempre finito.

Per la somma di nodi vale KN1 # N2(a, x) = KN1(a, x)KN2(a, x).

Se N* è l’immagine speculare del nodo N, Relazione tra il polinomio di Kauffman di un nodo e quello della sua immagine speculare, quindi come i polinomi di Jones e HOMFLY, anche i polinomi di Kauffman permettono molto spesso di distinguere tra un nodo e la sua immagine speculare.

 

La tabella seguente mostra i polinomi di Kauffman dei nodi con fino a 7 incroci.

Nodo

Polinomio di Kauffman

0

1

31

Polinomio di Kauffman del nodo 3(1)

41

Polinomio di Kauffman del nodo 4(1)

51

Polinomio di Kauffman del nodo 5(1)

52

Polinomio di Kauffman del nodo 5(2)

61

Polinomio di Kauffman del nodo 6(1)

62

Polinomio di Kauffman del nodo 6(2)

63

Polinomio di Kauffman del nodo 6(3)

71

Polinomio di Kauffman del nodo 7(1)

72

Polinomio di Kauffman del nodo 7(2)

73

Polinomio di Kauffman del nodo 7(3)

74

Polinomio di Kauffman del nodo 7(4)

75

Polinomio di Kauffman del nodo 7(5)

76

Polinomio di Kauffman del nodo 7(6)

77

Polinomio di Kauffman del nodo 7(7)

 

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  The Last Recreations, New York, Springer-Verlag, 1997.

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