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Nodi (numeri di)

Matematica combinatoria  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Invarianti e proprietà dei nodi
  3. 3. Polinomi associati ai nodi

Sono state studiate varie proprietà dei nodi; molte sono invarianti, nel senso che non dipendono da una particolare rappresentazione grafica o sono definite come il minimo per tutte le possibili rappresentazioni. Qui trovate alcune delle principali.

Molto spesso il modo più semplice per dimostrare che una proprietà è un invariante è dimostrare che non cambia applicando le tre mosse di Reidemeister.

 

Il numero di incroci di un nodo N si indica con I(N).

Possono esistere più rappresentazioni diverse dello stesso nodo col minimo numero di incroci.

Sembra ragionevole che il numero di incroci della somma di due nodi N1 e N2 sia la somma dei numeri di incroci dei due nodi, cioè che I(N1 # N2) = I(N1) + I(N2), ma non è stato provato: è teoricamente possibile, infatti, che manipolando il nodo risultante, si possano eliminare alcuni incroci.

I nodi tali che I(N1 # N2) = I(N1) + I(N2) per qualsiasi coppia di nodi si dicono “adeguati”, si ritiene che tutti i nodi siano adeguati, ma soli i nodi di alcune categorie, in particolare nodi alternanti e nodi toroidali, sono stati dimostrati adeguati.

Nel 2009 Marc Lackenby dimostrò che Limiti inferiore e superiore per il numero di incroci della somma di due nodi e più in generale Limiti inferiore e superiore per il numero di incroci della somma di nodi.

 

Uno degli invarianti più importanti è il numero di passaggi della corda attraverso se stessa necessari per ridurre il nodo a un anello semplice, vale a dire il numero minimo di incroci da invertire (facendo passare sopra l’arco che all’inizio si trovava sotto) per scioglierlo.

Non si conosce un metodo generale per determinare il numero di passaggi di un nodo; è noto per tutti i nodi toroidali e per i nodi primi con fino a 9 incroci.

Il numero di passaggi di un nodo toroidale T(p, q) è (p – 1) * (q – 1) / 2 (congettura di Minor, dimostrata da P.B. Kronheimer e T.S. Mrowka nel 1993).

Il numero di passaggi è almeno 2 per i nodi composti, quindi un nodo con numero di passaggi uguale a 1 è primo, ma esistono nodi primi con numero di passaggi superiore.

Nel 1999 Osamu Saeki dimostrò che con lo stesso numero di passaggi necessari per scioglierlo, si può trasformare un nodo in uno con polinomio di Alexander uguale a 1.

La tabella seguente mostra i numeri di passaggi dei nodi primi con fino a 7 incroci.

Classificazione

Numero di passaggi

0

0

31

1

41

1

51

2

52

1

61

1

62

1

63

1

71

3

72

1

73

2

74

2

75

2

76

1

77

1

 

Il numero di “ponti” P(N) di un nodo N è il numero minimo di archi necessari per tracciarlo, in modo che ogni arco passi solo sopra altri, mai sotto; le parti che passano solo sotto altre non contano. In altre parole un “ponte” è un tratto di corda che scavalca una o più volte altre parti del nodo e termina dove la corda passa sotto se stessa.

Il numero è definito come il minimo per ogni possibile rappresentazione e la rappresentazione che consente di ridurre il numero al minimo non è necessariamente quella che rende minimo il numero di incroci. Per esempio, il numero di incroci del nodo 31 è 3 e rappresentandolo con 3 incroci servono 3 ponti, ma rappresentandolo con 4, come nella figura seguente, si vede che ne bastano 2, colorati in rosso e blu, mentre gli archi che non costituiscono ponti sono in verde.

 

Ponti del nodo 3(1)

 

Il numero di ponti è un invariante importante di un nodo e fu studiato per la prima volta negli anni ’50 da Horst Schubert.

Per convenzione l’anello senza incroci ha numero di ponti uguale a uno, ogni altro nodo ha numero di ponti almeno uguale a 2.

In un nodo toroidale T(p, q) il numero di ponti è il minimo tra p e q (Horst Schubert, 1954).

Se si sommano due nodi, vale P(N1 # N2) = P(N1) + P(N2) – 1, pertanto tutti i nodi con numero di ponti uguale a 2 sono primi.

 

Fissata una rappresentazione di un nodo N, si definisce come K(N) la massima lunghezza di un ponte, ossia il massimo numero di tratti di fune che uno stesso ponte scavalca in quella rappresentazione.

Per ogni nodo N esiste una rappresentazione con K(N) = 2.

 

Il numero di contorsioni C(N) di un nodo N è una proprietà della rappresentazione di un nodo, definita in modo simile al numero di concatenazioni di una catena (v. numeri di catene); non è però un invariante, perché differenti rappresentazioni dello stesso nodo possono avere differenti numeri di contorsioni.

Per calcolarlo si definisce un senso di percorrenza del nodo, poi si attribuisce un valore 1 o –1 a ogni incrocio, a seconda che il tratto che passa sopra provenga da sinistra o da destra rispetto all’altro, considerando il senso di percorrenza di entrambi, come mostra la figura seguente.

 

Attribuzione dei numeri di contorsione a un incrocio

 

Una volta attribuito il valore a ogni incrocio, il numero di contorsioni è definito come la somma dei valori di tutti gli incroci.

Tait dimostrò che se, eliminati gli incroci banali, il numero di contorsioni di un nodo alternante è zero, il nodo non è ambichirale.

Lo stesso Tait suppose che il numero di contorsioni fosse un invariante, se il nodo è disegnato col minimo numero di incroci, ma Kenneth A. Perko scoprì nel 1974 (manipolando corde sul pavimento del soggiorno) che due nodi con 10 incroci e differente numero di contorsioni, fino ad allora classificati come differenti, sono in realtà lo stesso nodo. I due nodi sono da allora noti come “coppia di Perko” e rappresentano i controesempi all’ipotesi di Tait col minimo numero di incroci.

 

Il numero di segmenti S(N), detto anche “numero di bastoncini”, di un nodo N è definito come il minimo numero di segmenti della stessa lunghezza necessari per costruire il nodo in 3 dimensioni.

Il minimo possibile è 3, per l’anello semplice e 6 per qualsiasi altro nodo, come mostra la figura seguente.

 

Raffigurazione a bastoncini del nodo 3(1)

 

Nella figura tre bastoncini appaiono più corti, ma è solo un effetto prospettico, perché sono inclinati rispetto agli altri: i nodi costruiti in questo modo, infatti, vanno visti come strutture tridimensionali.

 

Non si conosce un metodo generale per calcolare numero di segmenti di un nodo e il numero è stato determinato solo per pochi nodi. È stato dimostrato che il numero di segmenti è:

  • 3 per l’anello semplice;

  • 6 per il nodo con 3 incroci;

  • 7 per quello con 4 incroci;

  • 8 per quelli con 5 e 6 incroci;

  • q per un nodo toroidale T(p, q), se 2 ≤ p < q ≤ 2p (Gyo Taek Jin, 1997);

  • maggiore di 7 per i nodi con più di 5 incroci.

Si ritiene che S(N) sia 9 per i nodi con 7 incroci.

Si conoscono limiti inferiori e superiori per il numero di segmenti:

  • nel 2014 Hyoungjun Kim, Sungjong No e Seungsang Oh dimostrarono che S(N) ≤ 2I(N) + 2 e S(N) ≤ 2I(N) – 2 per i nodi primi alternanti;

  • il miglior limite generale è Limiti inferiore e superiore per il numero di bastoncini (Seiya Negami, 1991; Jorge Alberto Calvo 2001; Youngsik Huh e Seungsang Oh, 2001).

Se si sommano due nodi, vale S(N1 # N2) ≤ S(N1) + S(N2) – 3 (Colin C. Adams, Bevin M. Brennan, Deborah L. Greilsheimer, e Alexander K. Woo, 1997).

Se si ammette l’utilizzo di segmenti di diverse lunghezze, è possibile ridurre il numero di segmenti per alcuni nodi con 9 o più incroci.

e non esiste un minimo tra essi

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  The Last Recreations, New York, Springer-Verlag, 1997.

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