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Nodi (numeri di)

Matematica combinatoria  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Invarianti e proprietà dei nodi
  3. 3. Polinomi associati ai nodi

Il numero di nodi con n incroci è il numero di configurazioni distinte di anelli di corda che si possono avere se la corda incrocia se stessa n volte. Se necessario, il nodo va prima manipolato in modo che in nessun punto vi siano più di 2 sovrapposizioni della corda.

Due configurazioni sono considerate distinte se non possono essere portate a coincidere manipolando la corda, senza tagliarla; una configurazione e la sua immagine speculare non sono normalmente considerate distinte nelle classificazioni.

 

Il primo a occuparsi scientificamente dei nodi fu Gauss, che nel 1933 sviluppò un metodo per calcolare il numero di concatenazioni (v. numeri di catene).

L’interesse per i nodi fiorì nella seconda metà del XIX secolo, quando William Thomson (Belfast, Irlanda, 26/6/1824 – Largs, Scozia, 17/12/1907), noto anche come “Lord Kelvin”, riprese il suggerimento di Hermann von Helmholtz (Potsdam, allora regno di Prussia, oggi Germania, 31/8/1821 – Charlottenburg, Germania, 8/9/1894) che gli atomi dei diversi elementi potevano corrispondere a differenti “nodi” di tubi di etere, una sostanza per il resto identica per tutti gli atomi. Di conseguenza altri fisici, tra i quali James Clerk Maxwell (Edinburgo, Scozia, 19/6/1831 – Cambridge, Inghilterra, 5/11/1879), s’interessarono ai nodi.

Nel 1887 l’esperimento di Michelson – Morley dimostrò che l’etere non esiste e l’interesse per i nodi scemò, per rinascere circa mezzo secolo dopo, grazie a teorici puri.

Kurt Werner Friedrich Reidemeister (Braunschweig, Germania, 31/10/1893 – Göttingen, Germania, 8/8/1971) nel 1927 classificò le manipolazioni possibili dei nodi, dimostrando che, per quanto possa sembrare strano, qualsiasi operazione si può ridurre a una combinazione di tre mosse elementari, mostrate nella figura seguente.

 

Le tre mosse di Reidemeister

 

Le prime due mosse eliminano uno o due incroci banali, la terza fa scorrere una parte di corda da sotto un incrocio a sopra lo stesso.

 

Nell’ultimo secolo la teoria dei nodi è diventata un ramo attivo della matematica combinatoria, ma si è ancora molto lontani da una comprensione soddisfacente delle loro proprietà; in particolare, non è noto un metodo per calcolarne il numero, dato il numero di incroci, né un algoritmo semplice per stabilire se due nodi siano equivalenti.

Persino il problema, apparentemente semplice, di stabilire se un diagramma rappresenti un nodo o sia riducibile a un anello si è rivelato appartenere alla classe NP, per la quale non si conoscono algoritmi che non richiedano un numero di passi che aumenti esponenzialmente col numero di incroci.

Solo nel 2000 è stata sintetizzata la prima molecola che formi un vero e proprio nodo (una lunga e complessa catena di anelli esagonali di carbonio, collegati tramite atomi di carbonio e gruppi CO e NH).

La teoria dei nodi ha importanti applicazioni pratiche nello studio del DNA ricombinante e di sostanze con proprietà particolari: la stessa molecola ad anello, per esempio può avere proprietà fisiche del tutto diverse se annodata o meno.

 

Un problema fondamentale e tutt’altro che semplice è stabilire se due diagrammi corrispondano allo stesso nodo.

Per esempio, non è affatto immediato che il nodo della figura seguente corrisponda semplicemente a un anello senza incroci (e anche districarlo manualmente è un compito impegnativo).

 

Nodo equivalente a un anello

 

 

Nel 1961 Wolfgang Haken trovò un algoritmo per stabilire se una configurazione sia un nodo o un anello semplice e propose una strategia per dirimere la questione più generale dell’equivalenza di due nodi rappresentati in modi diversi.

Negli anni ’70 Friedhelm Waldhausen annunciò un algoritmo, basato sui lavori di Haken, Klaus Johannson, Goffrey Hemion, William Jaco e Peter B. Shalen; nel 2003 Sergei Matveev scoprì e corresse un importante difetto. L’algoritmo risultante permette di stabilire se due nodi siano equivalenti o meno, ma sfortunatamente è molto complesso e il numero di operazioni nel caso peggiore aumenta esponenzialmente col numero di incroci formati dalla corda.

In pratica si tenta prima di calcolare invarianti e polinomi collegati ai due diagrammi: se in almeno un caso si trova una differenza, i due diagrammi corrispondono a nodi diversi, altrimenti è probabile, ma non sicuro, che corrispondano allo stesso nodo e si ricorre all’algoritmo sopra menzionato per averne la certezza.

 

Il problema immediatamente seguente che si pone è la classificazione dei nodi. Nel 1884 P.G. Tait pubblicò la tabella dei nodi primi con fino a 7 incroci, che fu poi ampliata a tutti i nodi alternanti con fino a 11 incroci da Thomas Penyngton Kirkman (Bolton, Inghilterra, 31/3/1806 – Bowdon, Inghilterra, 3/2/1895).

Charles Newton Little (Madurai, India, 1858 – Berkeley, USA, 7/9/1923) collaborò con Tait a una revisione del lavoro di Kirkman, che conteneva alcuni errori, e lavorò alla classificazione dei nodi non alternanti con fino a 10 incroci.

Lavorando manualmente queste erano già imprese notevoli e non si registrarono significativi progressi in questa direzione sino all’avvento dei calcolatori elettronici, che permisero di estendere notevolmente le tabelle e di esaminare altre proprietà dei nodi:

  • nel 1981 A. Caudron pubblicò la classificazione di tutti i nodi primi con fino a 11 incroci;

  • nel 1985 Morwen B. Thistlethwaite pubblicò la classificazione di tutti i nodi primi con fino a 13 incroci;

  • nel 2004 S. Rankin, O. Flinte e J. Schermann pubblicarono la classificazione di tutti i nodi primi con fino a 22 incroci.

 

Non esistono nodi con 1 o 2 incroci, perché se un anello ha solo 1 o 2 incroci, si può sempre districare, riducendolo un semplice anello senza incroci.

 

Due nodi si possono “sommare”; il nodo risultante dalla somma dei nodi N1 e N2 si indica come N1 # N2. L’operazione consiste nell’aprire i due anelli e ricongiungerli a formare un anello unico, come mostra la figura seguente.

 

Somma di due nodi

 

Il punto nel quale si effettua il taglio è irrilevante: comunque lo si faccia, si ottiene sempre lo stesso risultato, nel senso che i vari nodi ottenuti possono essere portati a coincidere manipolando la corda.

Si dicono “primi” i nodi che non sono ottenibili come somma di nodi più semplici.

Horst Schubert dimostrò nel 1949 che la scomposizione di ogni nodo in nodi primi è unica.

 

Un nodo nel quale seguendo l’anello si incontrano alternativamente passaggi sopra e sotto altre parti dell’anello si dice “alternante”.

Quando Tait iniziò a lavorare sui nodi, probabilmente riteneva che tutti i nodi fossero alternanti; non è vero, ma effettivamente non è neppure semplice dimostrare che un nodo non alternante esiste: la prima dimostrazione si deve a R.H. Crowell nel 1959.

Sono stati sviluppati algoritmi efficienti per stabilire se due nodi alternanti siano equivalenti, ma sfortunatamente questi rappresentano una frazione dei nodi che si suppone tenda a zero all’aumentare del numero di incroci (C. Sundberg e Morwen B. Thistlethwaite, 1998).

La figura seguente mostra i 3 nodi non alternanti con 8 incroci.

 

I tre nodi non alternanti con 8 incroci

 

 

La classificazione dei nodi presuppone una notazione più efficace dei diagrammi per rappresentarli; tra le varie che sono state sviluppate, quella di Dowker è una delle più utilizzate. Per rappresentare un nodo alternante secondo la notazione di Dowker si procede così:

  • si sceglie un verso di percorrenza;

  • si sceglie un incrocio, lo si numera con 1 e seguendo il verso prescelto si segue il nodo, numerando progressivamente tutti gli incroci, fino a tornare a quello di partenza;

  • a questo punto ogni incrocio ha ricevuto due numeri, uno pari e uno dispari; si scrivono i nodi dispari in ordine (1, 3, 5, 7, …) e sotto di essi i corrispondenti numeri pari;

  • la sequenza dei numeri pari rappresenta il nodo.

Per esempio, nel caso del nodo chiamato “62” potremmo avere una numerazione come quella della figura seguente.

 

Nodo 6(2)

 

Scrivendo i numeri come indicato otteniamo:

1

3

5

7

9

11

8

10

12

2

6

4

La sequenza dei numeri pari, che codifica il nodo, è quindi: 8 10 12 2 6 4. La notazione non è univoca: partendo da un altro incrocio, avremmo ottenuto una sequenza diversa.

La notazione si può estendere ai nodi non alternanti, con una piccola variante: quando si assegna un numero pari a un incrocio, il segno è negativo se si sta passando sotto, positivo se si passa sopra.

Per esempio, nel caso del nodo chiamato “821” potremmo avere una numerazione come quella della figura seguente.

 

Nodo 8(21)

 

Scrivendo i numeri come indicato otteniamo:

1

3

5

7

9

11

13

15

–12

–8

10

–14

16

6

–2

4

La sequenza dei numeri pari, che codifica il nodo, è quindi: –12 –8 10 –14 16 6 –2 4.

 

Dato che a un nodo con n incroci possono sono assegnati altrettanti numeri pari, che possono formare n! sequenze diverse, con 2n combinazioni di segni nel caso di nodi non alternanti, la notazione fornisce limiti superiori per il numero di nodi con n incroci: n! per quelli alternanti e 2nn! per quelli non alternanti. Questi limiti sono però enormemente superiore al numero di nodi effettivamente esistenti, perché non tutte le sequenze di interi pari da 2 a 2n corrispondono a un nodo con n incroci (possono rappresentare un nodo equivalente a uno con meno incroci o non corrispondere ad alcun nodo).

 

La tabella seguente mostra i nodi primi con fino a 7 incroci e una loro possibile rappresentazione nella notazione di Dowker.

Nodo

Classificazione

Numero di incroci

Rappresentazione nella notazione di Dowker

Nodo 0

0

0

-

Nodo 3(1)

31

3

4 6 2

Nodo 4(1)

41

4

4 6 8 2

Nodo 5(1)

51

5

4 8 10 2 6

Nodo 5(2)

52

5

6 8 10 2 4

Nodo 6(1)

61

6

4 8 10 2 12 6

Nodo 6(2)

62

6

4 8 10 12 2 6

Nodo 6(3)

63

6

4 8 12 10 2 6

Nodo 7(1)

71

7

4 8 10 12 2 14 6

Nodo 7(2)

72

7

4 8 12 2 14 6 10

Nodo 7(3)

73

7

4 10 12 14 2 8 6

Nodo 7(4)

74

7

4 10 14 12 2 8 6

Nodo 7(5)

75

7

6 10 12 14 2 4 8

Nodo 7(6)

76

7

6 10 12 14 4 2 8

Nodo 7(7)

77

7

8 10 12 14 2 4 6

 

Un nodo toroidale T(p, q) si ottiene avvolgendo una corda intorno a un toro, in modo da passare p volte nel buco centrale e fare q giri intorno al toro primi di chiudere l’anello di corda, con p e q maggiori di 1, come i nodi 31 = T(3, 2), 51 = T(5, 2) e 71 = T(7, 2). I nodi toroidali T(p, q) e T(q, p) sono equivalenti.

Tutti i nodi toroidali sono primi.

Il numero di incroci di T(p, q) è min(p(q – 1), q(p – 1)) = pq – max(p, q).

Il numero di nodi toroidali con n incroci è uguale al numero degli interi k che dividono n e tali che Limiti inferiore e superiore per k e n1 + n / k siano primi tra loro.

 

Un nodo si dice “ambichirale” se può essere deformato senza tagliarlo, in modo da diventare uguale alla sua immagine speculare, come 41 e 63, i nodi ambichirali con il minimo numero di incroci.

La distinzione tra nodi chirali e non fu espressa per la prima volta nel 1847 da Johann Benedict Listing (1808 – 1882).

I nodi primi ambichirali alternanti hanno un numero pari di incroci, ma i nodi composti possono averne un numero dispari. Il primo nodo ambichirale primo con un numero dispari di incroci, mostrato nella figura seguente, fu scoperto da J. Hoste, Morwen B. Thistlethwaite e J. Weeks nel 1998 ed è tuttora l’unico noto.

 

Nodo primo ambichirale

 

 

Supponendo di dare un senso di percorrenza alla corda, ossia di disegnare una freccia lungo di essa, un nodo si dice “invertibile”, se può essere deformato in modo da divenire uguale a se stesso, ma con la freccia invertita.

Il più semplice nodo primo non invertibile è 817, mostrato nella figura seguente.

 

Nodo 8(17)

 

 

Tra i nodi con pochi incroci molti sono invertibili; fino al 1963 l’esistenza stessa di nodi non invertibili era un problema aperto: si sospettava che molti nodi noti fossero non invertibili, ma non se ne conosceva con certezza nessuno. Hale F. Trotter dimostrò che i nodi non invertibili esistono, mostrando una famiglia infinita di nodi non invertibili, il più semplice dei quali ha 15 incroci. 

Non si conosce alcun metodo generale per determinare se un nodo sia invertibile o meno, però sono stati catalogati tutti i nodi non invertibili fino a 16 incroci.

 

La tabella seguente mostra il numero di nodi primi, composti e totali con n incroci, per i primi numeri di incroci, non considerando distinte le immagini speculari (Steven R. Finch, J. Hoste, Stuart Rankin, Ortho Smith, Morwen B. Thistlethwaite e Eric Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Nodi primi alternanti

Nodi primi

Nodi composti

Nodi totali

Nodi ambichirali

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

3

1

1

0

1

0

4

1

1

0

1

1

5

2

2

0

2

0

6

3

3

2

5

1

7

7

7

1

8

0

8

18

21

4

25

5

9

41

49

 

 

0

10

123

165

 

 

13

11

367

552

 

 

0

12

1288

2176

 

 

58

13

4878

9988

 

 

0

14

19536

46972

 

 

274

15

85263

253293

 

 

1

16

379799

1388705

 

 

1539

17

1769979

 

 

 

 

18

8400285

 

 

 

 

19

40619385

 

 

 

 

20

199631989

 

 

 

 

21

990623857

 

 

 

 

22

4976016485

 

 

 

 

23

25182878921

 

 

 

 

 

Contando separatamente le immagini speculari, sul numero di nodi primi con n incroci N(n) sappiamo che:

  • Limiti inferiore e superiore per N(n) (C. Ernst e D.W: Sumners, 1987);

  • Limite superiore per N(n)^(1 / n) (D.J.A. Welsh, 1992);

  • Limite inferiore per N(n)^(1 / n) (D.J.A. Welsh, 1992).

Si suppone che il numero di nodi primi alternanti con n incroci Na(n) tenda a anbkn, con a, b e k costanti e forse Valore supposto per b.

Morwen B. Thistlethwaite dimostrò nel 1998 che Limite superiore per Na(n)^(1 / n).

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  The Last Recreations, New York, Springer-Verlag, 1997.

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