Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Autodescrittivi (numeri) (II)

Rappresentazione dei numeri 

Una definizione più restrittiva di quella più comune (v. numeri autodescrittivi (I)), consiste nel definire “autodescrittivi” o “autobiografici” i numeri naturali tali che concatenando i numeri di cifre che li compongono, in ordine crescente a partire da 0, si ottiene il numero stesso.

La definizione equivale a quella dei numeri autodescrittivi (I), eliminando le cifre e conservando solo i numeri di cifre.

Con questa definizione 1210 è un numero autodescrittivo in qualsiasi base maggiore di 3, perché formato da uno 0, due 1, un 2 e nessun 3 (nella notazione dei numeri autodescrittivi (I) sarebbe stato descritto come 10211203 e non sarebbe stato autodescrittivo).

 

Anche con questa definizione i numeri autodescrittivi sono finiti in qualsiasi base (in base b sono composti al massimo da b cifre), non ve ne sono in base 2 e 3 e una sequenza di cifre autodescrittiva in una base resta tale in tutte le basi superiori, anche se rappresenta numeri diversi.

Sono:

  • 1210b e 2020b, in ogni base b maggiore di 3;

  • 21200b, in ogni base b maggiore di 4;

  • i numeri della forma n21(0)n – 31(0)3 con n < b – 3, in ogni base b maggiore di 6.

Non esistono quindi numeri autodescrittivi di 1, 2, 3 o 6 cifre.

 

La tabella seguente riporta i numeri autodescrittivi nelle basi fino a 20.

Base

Numeri autodescrittivi

4

12104 = 100, 20204 = 136

5

12105 = 180, 20205 = 260, 212005 = 1425

6

12106 = 294, 20206 = 444, 212006 = 2880

7

12107 = 448, 20207 = 700, 212007 = 5243, 32110007 = 389305

8

12108 = 648, 20208 = 1040, 212008 = 8832, 32110008 = 856576, 421010008 = 8946176

9

12109 = 900, 20209 = 1476, 212009 = 14013, 32110009 = 1719711, 421010009 = 20254536, 5210010009 = 225331713

10

1210, 2020, 2120, 3211000, 42101000, 521001000, 6210001000

11

121011 = 1584, 202011 = 2684, 2120011 = 30855, 321100011 = 5652757, 4210100011 = 81654188, 52100100011 = 1112541639, 621000100011 = 14595892410, 7210000100011 = 186492227801

12

121012 = 2028, 202012 = 3480, 2120012 = 43488, 321100012 = 9478080, 4210100012 = 149549760, 52100100012 = 2224559808, 621000100012 = 31854479040, 7210000100012 = 444171093696, 82100000100012 = 6073061476032

13

121013 = 2548, 202013 = 4420, 2120013 = 59657, 321100013 = 15253771, 4210100013 = 261021176, 52100100013 = 4208979645, 621000100013 = 65321208394, 7210000100013 = 987034174607, 82100000100013 = 14623604637564, 921000000100013 = 213404945384449

14

121014 = 3150, 202014 = 5516, 2120014 = 79968, 321100014 = 23705416, 4210100014 = 437253656, 52100100014 = 7597304568, 621000100014 = 127023275064, 7210000100014 = 2067580470200, 82100000100014 = 32995691716792, 921000000100014 = 518633596374712, A210000000100014 = 8054585122464440

15

121015 = 3840, 202015 = 6780, 2120015 = 105075, 321100015 = 35744625, 4210100015 = 706981500, 52100100015 = 13167565875, 621000100015 = 235956800250, 7210000100015 = 4116002347125, 82100000100015 = 70389791019000, 921000000100015 = 1185593203128375, A210000000100015 = 19730093115237750, B2100000000100015 = 325144322753909625

16

121016 = 4624, 202016 = 8224, 2120016 = 135680, 321100016 = 52498432, 4210100016 = 1108348928, 52100100016 = 22028488704, 621000100016 = 421175234560, 7210000100016 = 7838315319296, 82100000100016 = 143005231091712, 921000000100016 = 2569558674116608, A210000000100016 = 45616538413174784, B2100000000100016 = 801922208648663040, C21000000000100016 = 13983676842985394176

17

121017 = 5508, 202017 = 9860, 2120017 = 172533, 321100017 = 75340855, 4210100017 = 1691054600, 521001000!7 = 35723607033, 621000100017 = 725889117450, 7210000100017 = 14356108818491, 82100000100017 = 278325746143372, 921000000100017 = 5314159921588477, A210000000100017 = 100245296699831438, B2100000000100017 = 1872547870456456767, C21000000000100017 = 34695736849269502224, D210000000000100017 = 638488718313248327681

18

121018 = 6498, 202018 = 11700, 2120018 = 216432, 321100018 = 105926616, 4210100018 = 2518799976, 52100100018 = 56358261000, 621000100018 = 1212807889224, 7210000100018 = 25401009133512, 82100000100018 = 521486574383304, 921000000100018 = 10543589720226504, A210000000100018 = 210607579829649096, B2100000000100018 = 4165749804515665608, C21000000000100018 = 81730137097759340232, D210000000000100018 = 1592581998856262276808, E2100000000000100018 = 30852387539151417415368

19

121019 = 7600, 202019 = 13756, 2120019 = 268223, 321100019 = 146227021, 4210100019 = 3672061676, 52100100019 = 86752611423, 621000100019 = 1970987191354, 7210000100019 = 43579822770065, 82100000100019 = 944506891405992, 921000000100019 = 20158945855656547, A210000000100019 = 425072954719607990, B2100000000100019 = 8875392825455312469, C21000000000100019 = 183813590713525611748, D210000000000100019 = 3780899637124607667431, E2100000000000100019 = 77317479963152347743666, F21000000000000100019 = 1573159469597805848539033

20

121020 = 8820, 202020 = 16040, 2120020 = 328800, 321100020 = 198568000, 4210100020 = 5251208000, 52100100020 = 130624008000, 621000100020 = 3124480008000, 7210000100020 = 72729600008000, 82100000100020 = 1659392000008000, 921000000100020 = 37283840000008000, A210000000100020 = 827596800000008000, B2100000000100020 = 18190336000000008000, C21000000000100020 = 396574720000000008000, D210000000000100020 = 8586854400000000008000, E2100000000000100020 = 184844288000000000008000, F21000000000000100020 = 3959029760000000000008000, G210000000000000100020 = 84423475200000000000008000

 

I numeri autodescrittivi hanno alcune semplici proprietà:

  • dato che la prima cifra deve essere almeno 1, devono contenere almeno uno zero;

  • la somma delle cifre è uguale al numero di cifre e quindi non è superiore alla base;

  • escludendo la prima cifra, contengono un 2, da zero a due 1 e le restanti cifre sono 0;

  • sono esattamente b – 3 in ogni base b maggiore di 6.

 

Tutti i numeri autodescrittivi sono multipli della base, quindi nessuno è primo.

 

Non è difficile dimostrare che nessun numero autodescrittivo è un quadrato: in base b 21200b è un multiplo del quadrato della base; dividendolo per b2 abbiamo 212b = b2 + b + 2 e i possibili resti modulo 9 per tutti i valori di b sono 2, 3, 5 e 8, nessuno dei quali è un residuo quadratico modulo 9, quindi b2 + b + 2 non può essere un quadrato.

Tutti gli altri numeri autodescrittivi terminano con uno o tre zeri, quindi sono multipli della base, ma non del suo quadrato, o del cubo della base, ma non del suo biquadrato. Per lo stesso motivo nessun numero autodescrittivo è una potenza con esponente maggiore di 3.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.