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Sokol (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura proposta da John Sokol nel 2002 afferma che ogni numero primo p può essere espresso in una delle quattro forme: q# ± 1 o q# ± r, dove q è intero e r è primo.

 

E’ una forma più forte della congettura di Mac Eachen.

 

La mia personale versione della congettura è che i primi maggiori di 2 siano rappresentabili come q# ± r, dove q e r sono primi. Dato che i primoriali q# aumentano di valore solo se q è primo, per q > 1 la limitazione che sia primo non cambia nulla, mentre l’evidenza sperimentale suggerisce che le prime due forme della versione di servano solo per 2 = 2# – 1.

 

Una sottile ma importante differenza tra la congettura di Sokol e quella di Mac Eachen è che nella forma più generale di quest’ultima vi sono infinite scelte per il prodotto di primoriali. Infatti, se p = 2#a3#b5#c ... – r, tutti i primoriali del prodotto devono essere minori di p#, altrimenti il prodotto stesso sarebbe multiplo di p e quindi anche r dovrebbe essere multiplo di p e non potrebbe essere primo, tranne nel caso 3 = 3# – 3. Per ogni primo p esistono però infinite scelte possibili degli esponenti a, b, c… e di conseguenza per trovare un controesempio bisogna, almeno in linea di principio, esaminare infiniti candidati per r.

Anche nella versione ristretta, nella quale i primoriali debbono essere diversi, vi sono 2π(p) – 1 possibili prodotti da verificare, quindi la verifica di un eventuale controesempio è estremamente difficile.

Nel caso della congettura di Sokol bisogna esaminare solo π(p) combinazioni, quindi trovare un controesempio, se esiste, è più semplice, almeno in linea di principio.

In teoria la congettura è verificabile per ogni primo p in un numero finito di passi, perché basta provare tutti primi q inferiori a p: se non si trova una rappresentazione, non può esistere, tuttavia i numeri in gioco diventano molto rapidamente enormi e stabilire se siano primi o meno richiede tempi molto lunghi.

 

Ho verificato la congettura per tutti i primi fino a 109, trovando una rappresentazione del tipo descritto per tutti primi, tranne che per p = 495848939 e p = 885606649, primi per i quali sono stati provati tutti i valori di q fino a 105953 senza trovare una rappresentazione valida.

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