Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pseudoprimi di Fibonacci

Teoria dei numeri  Teoria dei numeri 

Si dicono “pseudoprimi di Fibonacci” gli pseudoprimi di Lucas (I) rispetto a P = 1 e Q = –1, cioè rispetto alla sequenza di Fibonacci. Sono quindi i numeri composti dispari n non divisibili per 5 e tali che valga la congruenza Congruenza per la definizione degli pseudoprimi di Fibonacci, dove Simbolo di Jacobi (5 | n) è il simbolo di Jacobi.

 

Vi sono solo 4152 pseudoprimi di Fibonacci dispari inferiori a 109 e 29334 inferiori a 1011.

 

Se si rinuncia al requisito che siano dispari, si trovano alcuni pseudoprimi di Fibonacci pari; quelli inferiori a 1011 sono: 8539786, 12813274, 17340938, 33940178, 64132426, 89733106, 95173786, 187473826, 203211098, 234735586, 353686906, 799171066, 919831058, 1188287794, 1955272906, 2166139898, 2309861746, 2864860298, 3871638242, 5313594466, 5867301826, 6096657106, 6243319666, 6622185338, 6737518682, 7184707426, 9737238226, 10882481626, 11314125226, 11910076298, 14397590026, 16074104554, 18404610346, 18768300634, 18975359026, 21905519626, 22845221386, 25123886866, 29281775914, 30883565282, 31563399946, 36942138098, 62782107466, 66871778986, 69000457906, 70385194802, 71747691938, 75246173626, 99337010554 (T.D. Noe, Giovanni Resta e Dana Jacobsen, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Gli pseudoprimi di Fibonacci minori di 106 sono: 323, 377, 1891, 3827, 4181, 5777, 6601, 6721, 8149, 10877, 11663, 13201, 13981, 15251, 17119, 17711, 18407, 19043, 23407, 25877, 27323, 30889, 34561, 34943, 35207, 39203, 40501, 50183, 51841, 51983, 52701, 53663, 60377, 64079, 64681, 67861, 68101, 68251, 75077, 78409, 79547, 82983, 86063, 88601, 88831, 90061, 90287, 94667, 96049, 97921, 100127, 104663, 113573, 115231, 118441, 121103, 121393, 138601, 142883, 145351, 146611, 150121, 153781, 158717, 161027, 162133, 163081, 182513, 186961, 191351, 195227, 197209, 199801, 200147, 218791, 219781, 231703, 250277, 252601, 254321, 257761, 265881, 266071, 268801, 272611, 283361, 283373, 294527, 302101, 303101, 306287, 316561, 330929, 332949, 342271, 345913, 380393, 381923, 385307, 399001, 429263, 430127, 433621, 438751, 453151, 454607, 456301, 464101, 489601, 500207, 506521, 507527, 512461, 520801, 530611, 548627, 556421, 569087, 572839, 600767, 607561, 629911, 635627, 636641, 636707, 638189, 642001, 655201, 676367, 685583, 697883, 721801, 722261, 732887, 736163, 741751, 753251, 753377, 762841, 765687, 770783, 775207, 796111, 798571, 828827, 851927, 852841, 853469, 873181, 925681, 948433, 954271, 983903, 994517, 999941.

Qui trovate gli pseudoprimi di Fibonacci minori di 109.

 

Nel 1964 Emma Lehmer dimostrò che se p è un numero primo maggiore di 5, F2p è uno pseudoprimo di Fibonacci, quindi gli pseudoprimi di Fibonacci sono infiniti.

 

Nel 1970 E.A. Parberry dimostrò che:

  • se p è un primo e p modulo 15 è 1 o 4, n = F2p è uno pseudoprimo di Fibonacci e Congruenza sodisfatta da F(n);

  • se n è uno pseudoprimo di Fibonacci non multiplo di 3, F2p è uno pseudoprimo di Fibonacci non multiplo di 3; di conseguenza a partire da uno pseudoprimo di Fibonacci non multiplo di 3 se ne possono ottenere infiniti altri.

 

Nel 1986 P. Kiss, B.M. Phong e E. Lieuwen dimostrarono che esistono infiniti interi che sono contemporaneamente pseudoprimi di Fibonacci e di Lucas (II); quelli minori di 106 sono: 181, 5777, 6721, 10877, 13201, 15251, 34561, 51841, 64079, 64681, 67861, 68251, 75077, 90061, 96049, 97921, 100127, 113573, 118441, 146611, 161027, 162133, 163081, 186961, 197209, 219781, 231703, 252601, 254321, 257761, 268801, 272611, 283361, 302101, 303101, 330929, 399001, 430127, 433621, 438751, 489601, 512461, 520801, 530611, 556421, 635627, 636641, 638189, 655201, 722261, 741751, 851927, 852841, 853469, 925681, 999941.

Qui trovate gli interi che sono contemporaneamente pseudoprimi di Fibonacci e di Lucas (II), minori di 109.

 

Non si conoscono primi p tali che p2 divida F(p – Legendre(p | 5)), detti “primi di Wall – Sun – Sun”.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.