Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Rappresentando un numero irrazionale in una qualsiasi base, ci si aspetta in genere che ogni cifra o gruppo di cifre appaia in media con la stessa frequenza di ogni altro gruppo dello stesso numero di cifre della stessa lunghezza. In particolare in base b ci si aspetta che qualsiasi sequenza di n cifre compaia con frequenza media asintotica 1 / b^n. Per esempio, nello sviluppo decimale di π ci si aspetta che in media 1 / 10 delle cifre siano 7, che la sequenza 23 costituisca 1 / 100 delle coppie di cifre, che la sequenza 962 costituisca 1 / 1000 delle terne e così via.

 

Un numero tale che rappresentandolo in base b si abbia frequenza bn per ogni possibile configurazione di n cifre consecutive si dice b-normale, secondo la definizione data da É. Borel.

 

Fissata una qualsiasi base, la maggior parte dei numeri reali è normale, come dimostrò lo stesso Borel nel 1904, nel senso che i numeri non normali costituiscono un insieme infinito, ma molto più “piccolo” degli altri; tecnicamente si tratta di un insieme con misura di Lebesgue nulla. I numeri che nello sviluppo decimale mancano di una specifica cifra, come per esempio i numeri che non contengono la cifra 3, sono notevole esempio di un insieme infinito e non numerabile, ma con misura di Lebesgue nulla.

Viceversa date due basi che non siano entrambe potenze di uno stesso numero, esiste un’infinità non numerabile di numeri normali in una, ma non nell’altra.

 

Nonostante i numeri normali siano in maggioranza, è straordinariamente difficile dimostrare che un numero specifico è normale in una data base, tanto che di fatto sono stati dimostrati normali vari numeri costruiti con regole più o meno complesse, come il numero di Champernowne e il numero di Copeland–Erdös, ma non costanti più comuni e matematicamente interessanti, come π, e, log 2, sqrt(2), ζ(3). Esaminando i milioni di cifre note in diverse basi non si trova per queste alcun segno di deviazione dalla normalità, ma una dimostrazione rigorosa non sembra oggi possibile.

 

Data una sequenza di interi, tale che per ogni c < 1 vi siano almeno nc interi della sequenza non maggiori di n per n abbastanza grande (tecnicamente si dice che la sequenza è densa tra gli interi), il numero ottenuto concatenando dopo il punto decimale le cifre della rappresentazione in base b dei numeri della sequenza stessa è normale in base b. Questo criterio permette di dimostrare che alcuni numeri particolari, come il numero di Champernowne e il numero di Copeland–Erdös in base b sono normali nella stessa base per ogni valore di b.

 

Veronica Becker e Santiago Figueira costruirono nel 2002 un esempio di numero normale computabile. La costruzione è importante, perché è una delle poche non basata sul creare una sequenza particolare di cifre in una base prefissata, ma è definita tramite operazioni matematiche e logiche. In questo senso il numero è analogo alla costante di Chaitin, ma a differenza di questa è computabile (almeno in teoria, perché l’algoritmo per il calcolo è così inefficiente, che non è in pratica impiegabile per calcolare anche poche cifre).

 

Tra i numeri dimostrati normali vanno ricordati:

  • la costante di Chaitin (in tutte le sue varianti), normale in qualsiasi base (C.S. Calude 1994);
  • il numero di Champernowne in base b, normale in base b (David G. Champernowne, 1933);
  • il numero di Copeland–Erdös in base b, normale in base b;
  • il numero 0.149162536496481100121144… ottenuto scrivendo dopo il punto decimale uno dopo l’altro i quadrati in base 10, normale in base 10 (Abram Samoilovitch Besicovitch, 1935); nel 1952 H. Davenport e Paul Erdös estesero la dimostrazione alla concatenazione dei valori, espressi in base 10, di qualsiasi polinomiale che assuma valori interi per valori interi della variabile;
  • i numeri Numeri normali in base b, normali in base b, se b, c e d sono maggiori di 1 (N. Korobov, 1990);
  • i numeri Numeri normali in base b, normali in base b, se b e c sono maggiori di 1 e primi tra loro, mk e nk sono sequenze di interi strettamente crescenti, le differenze dk = nknk – 1 tra termini successivi della sequenza nk sono non decrescenti ed esiste una costante γ > 1 / 2 tale che (m(k) – m(k – 1)) / c^(γ * n(k)) ≥ (m(k – 1) – m(k – 2)) / c^(γ * n(k – 1)), per k abbastanza grande (David H. Bailey e Richard E. Crandall, 2003).

Dalla dimostrazione di Bailey e Crandall seguono alcuni casi particolari di numeri normali in base b, sempre per b e c maggiori di 1 e primi tra loro:

Bailey e Crandall dimostrarono anche che i numeri Numeri trascendenti sono trascendenti se valgono le condizioni sopra riportate, anche rinunciando alla coprimalità di b e c, ed esiste una costante δ > 2 tale che (n(k + 1) + log(b) / log(c) *m(k + 1)) / (n(k) + log(b) / log(c) *m(k)) > δ, per k abbastanza grande.

In alcuni casi è possibile calcolare cifre isolate dei numeri indicati da Bailey e Crandall, senza calcolare le precedenti, con algoritmi simili a quello di Bailey, Borewein e Plouffe per π, ma ancora più efficienti: i due calcolarono infatti alcune cifre binarie del numero di Stoneham S(2, 3) intorno alla googol-esima (10100-esima) posizione in 2.8 secondi.

 

Tutti i numeri razionali non sono normali, in qualsiasi base, perché la sequenza delle cifre è finita o periodica. Esistono anche infiniti numeri irrazionali non normali e sono relativamente facili da costruire. G. Martin trovò nel 2001 il seguente semplice esempio: data la sequenza d2 = 4, Formula per d(n) per n > 2, il numero Numero non normale in alcuna base non è normale in alcuna base, ma è un numero di Liouville e quindi trascendente.

 

Bailey e Crandall dimostrarono nel 2003 che se P(x) e Q(x) sono polinomi a coefficienti interi di grado almeno 1 e il grado di Q è maggiore del grado di PNumero non normale in base b non è normale in base b.

 

Nel 1992 Y. Nakai e I. Shiokawa dimostrarono che data una funzione non identicamente nulla della forma Formula per al definizione della funzione f(x) con i vari ak e bk reali, il numero ottenuto scrivendo dopo il punto decimale la parte intera, espressa in base b, dei valori della funzione ottenuti per valori interi consecutivi della variabile, è normale in base b; in particolare f(x) può essere un polinomio e il numero di Champernowne e i polinomi considerati da Davenport e Erdös sono semplicemente casi particolari di questo teorema.

 

Un numero x è normale in base b se e solo se per ogni intero m maggiore di zero Condizione necessaria e sufficiente perché x sia normale.

 

Un numero è normale in base b se e solo se è semplicemente normale in base bk, per ogni valore intero di k (Pillai). Calvin T. Long dimostrò nel 1957 che perché un numero sia normale, è sufficiente che sia semplicemente normale per un insieme infinito di valori di k.

 

Se un numero è normale in base bn, è normale anche in base bm, per ogni valore intero di n e m (John E. Maxfield, 1953).

Wolfgang M. Schmidt dimostrò nel 1960 che un numero normale in base r è normale in base s se log(r) / log(s) è razionale, ossia se r e s sono potenze di uno stesso intero.

 

Fissato un insieme di basi, che contenga tutte le potenze di ciascuna con esponente razionale che siano interi, esiste un insieme infinito non numerabile di numeri normali in tutte le basi dell’insieme e non normali in tutte le altre basi (Wolfgang M. Schmidt, 1961).

 

Se a è b-normale e q e r sono razionali con q diverso da zero, anche qa + r è b-normale e se c = bq è intero, a è c-normale.

 

Se un numero rappresentato in base b come 0.a1a2a3a4… è normale in base b, è anche normale in base b il numero rappresentato come 0.a1a1a2a1a2a3a1a2a3a4... (Daniel Pellegrino, 2005).

 

Aggiungendo, rimuovendo o modificando una qualsiasi sequenza finita di cifre di un numero normale si ottiene ancora un numero normale.

 

Ogni numero reale positivo si può esprimere come prodotto di due numeri normali.

 

Dal punto di vista della teoria dell’informazione i numeri normali hanno alcune proprietà interessanti.

Una sottosequenza infinita di cifre estratte da un numero normale da un automa a stati finiti è ancora normale (V.N. Agafonov, 1968).

 

Un numero normale è incomprimibile, nel senso che il suo contenuto di informazione non può essere ridotto.

La sequenza di cifre che rappresenta un numero normale non può essere compressa da un automa a stati finiti. Vale a dire che non esiste automa a stati finiti capace di comprime la sequenza di cifre di un numero normale, codificandola tramite una sequenza in una più corta (nel senso che all’aumentare del numero di cifre considerate la lunghezza della nuova sequenza tenda a una frazione minore di uno di quella della sequenza originale), dalla quale un altro automa a stati finiti possa ricostruire la sequenza originale (J. Ziv e A. Lempel, 1978).

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