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Smarandache sui numeri primi (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Florentin Smarandache avanzò cinque congetture sulla distribuzione dei numeri primi.

 

La prima è che l’equazione p(n + 1)^x – p(n)^x = 1 abbia al massimo una sola soluzione per x tra 0 e 1, cioè che fissato x, esista al massimo una coppia di primi consecutivi che soddisfino l’equazione. La soluzione massima si ha per n = 1: 31 – 21 = 1.

 

La seconda, strettamente legata alla precedente, è che la soluzione minima dell’equazione di cui sopra si abbia per n = 31: 127x – 113x = 1, con x uguale alla costante di Smarandache (circa uguale a 0.5671481302) ovvero che per qualsiasi coppia di primi consecutivi valga p(n + 1)^x – p(n)^x < 1, per x minore della costante di Smarandache; si tratta di una forma leggermente più forte della congettura di Andrica. Questa congettura è stata verificata fino a 227 = 134217728 da Felice Russo.

 

La terza è che p(n + 1)^(1 / k) – p(n)^(1 / k) < 2 / k, per k > 2; questa congettura è stata verificata per tutti i numeri primi minori di 225 = 33554432 e k da 2 a 10 da Felice Russo.

 

La quarta è che per n abbastanza grande p(n + 1)^x – p(n)^x < 1 / x, se x è minore della costante di Smarandache.

 

La quinta è che e il massimo del rapporto p(n + 1) / p(n) ≤ 5 / 3 si ha solo per n = 2, con pn + 1 = 5 e pn = 3.

Questa congettura è per ora l’unica che sia stata dimostrata vera (Jozsef Sandor, 2000).

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