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Radice n-esima

Funzioni 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Radice quadrata
  3. 3. Radice cubica

L’estrazione di radice è operazione inversa dell’elevamento a potenza; fu inizialmente definita nel campo reale, con l’avvertenza che se l’indice è pari si considera il valore di segno positivo. Quindi se yn = xRadice n-esima di x uguale a y per n dispari e Radice n-esima di x uguale al valore assoluto di y per n pari.

La funzione venne poi estesa al campo complesso tramite la definizione Formula per la radice n-esima di un numero complesso; in generale un numero complesso ha n radici n-esime.

Il simbolo di radice risale al 1525 (v. notazione matematica).

 

Alcuni valori:

Radice n-esima di zero uguale a zero;

Radice n-esima di uno uguale a uno;

Radice n-esima di meno uno;

Radice n-esima di i.

 

Alcune formule che coinvolgono le radici:

(x^(1 / b))^(1 / a);

(xy)^(1 / n);

(x / y)^(1 / n), per y diverso da 0;

(x^b)^(1 / a);

Formula per il calcolo della radice n-esima di 1 – z, per |z| < 1, e quindi Formula per il calcolo della radice n-esima di z, per |1 – z| < 1;

Formula per il calcolo del reciproco della radice n-esima di z, per |z| < 1, e quindi Formula per il calcolo del reciproco della radice n-esima di 1 – z, per |1 – z| < 1;

Formula per il calcolo della radice m-esima di (1 + z)^n, per |z| < 1;

Formula per il calcolo della radice n-esima di z;

Radice n-esima del coniugato di z;

Disuguaglianza che coinvolge radici, per x ≥ 1;

Limite che coinvolge la radice n-esima;

Derivata della radice n-esima di x;

Integrale della radice n-esima di x, con c costante arbitraria;

Integrale di x^(1 / n) * log(x), con c costante arbitraria.

 

Alcune frazioni continue che permettono di approssimare radici n-esime:

Frazione continua per (1 + z)^(1 / n), per z non reale e minore di –1;

Frazione continua per (1 + z)^(1 / n), per |z| ≤ 1 / 2;

Frazione continua per (1 + z)^(1 / n), per z non reale e minore di –1;

Frazione continua per (1 + z)^(1 / n), per |z| < 1;

Frazione continua per (x^n + y)^(1 / n) e in particolare Frazione continua per z^(1 / z), per z non reale negativo o nullo (A.N. Khovanskii, 1963);

Frazione continua per z^(1 / z), per z non reale negativo o nullo (A.N. Khovanskii, 1963).

 

La soluzione dell’equazione differenziale f'(x) = f(x) * (g'(x) / (n * g(x)) + h'(x) / h(x)) è c * h(x) * g(x)^(1 / n), per c costante qualsiasi e in particolare la soluzione dell’equazione differenziale f'(x) = f(x) / (n * x) è c *x^(1 / n).

 

Uno dei più semplici ed efficienti algoritmi per il calcolo delle radice n-esime si ricava dal metodo di Newton: per calcolare la radice n-esima di x, si inizia con x0 uguale a un’approssimazione della radice (ma si può anche prendere come valore 1, al prezzo di qualche iterazione aggiuntiva), poi si calcola Iterazione per il calcolo della radice m-esima: xn tende a x^(1 / m). Una volta ottenuta la prima cifra corretta, l’algoritmo è a convergenza quadratica, ossia raddoppia il numero di cifre corrette a ogni iterazione.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico delle radici dalla seconda alla sesta.

Grafico delleradici n-esime di x, per n da 2 a 6

 

Le tabelle seguenti riportano i valori approssimati delle radici dalla seconda alla decima degli interi da 1 a 20.

 

n

sqrt(x)

x^(1 / 3)

x^(1 / 4)

x^(1 / 5)

x^(1 / 6)

1

1.0000000000

1.0000000000

1.0000000000

1.0000000000

1.0000000000

2

1.4142135624

1.2599210499

1.1892071150

1.1486983550

1.1224620483

3

1.7320508076

1.4422495703

1.3160740130

1.2457309396

1.2009369552

4

2.0000000000

1.5874010520

1.4142135624

1.3195079108

1.2599210499

5

2.2360679775

1.7099759467

1.4953487812

1.3797296615

1.3076604860

6

2.4494897428

1.8171205928

1.5650845801

1.4309690811

1.3480061546

7

2.6457513111

1.9129311828

1.6265765617

1.4757731616

1.3830875543

8

2.8284271247

2.0000000000

1.6817928305

1.5157165665

1.4142135624

9

3.0000000000

2.0800838231

1.7320508076

1.5518455739

1.4422495703

10

3.1622776602

2.1544346900

1.7782794100

1.5848931925

1.4677992676

11

3.3166247904

2.2239800906

1.8211602868

1.6153942662

1.4913014754

12

3.4641016151

2.2894284851

1.8612097182

1.6437518295

1.5130857494

13

3.6055512755

2.3513346877

1.8988289221

1.6702776523

1.5334062370

14

3.7416573868

2.4101422642

1.9343364203

1.6952182031

1.5524632892

15

3.8729833462

2.4662120743

1.9679896713

1.7187719276

1.5704178025

16

4.0000000000

2.5198420998

2.0000000000

1.7411011266

1.5874010520

17

4.1231056256

2.5712815907

2.0305431849

1.7623403478

1.6035216215

18

4.2426406871

2.6207413942

2.0597671439

1.7826024580

1.6188704069

19

4.3588989435

2.6684016487

2.0877976299

1.8019831273

1.6335243031

20

4.4721359550

2.7144176166

2.1147425269

1.8205642030

1.6475489724

 

n

x^(1 / 7)

x^(1 / 8)

x^(1 / 9)

x^(1 / 10)

1

1.0000000000

1.0000000000

1.0000000000

1.0000000000

2

1.1040895137

1.0905077327

1.0800597389

1.0717734625

3

1.1699308128

1.1472026904

1.1298309639

1.1161231740

4

1.2190136542

1.1892071150

1.1665290396

1.1486983550

5

1.2584989506

1.2228445450

1.1958131745

1.1746189431

6

1.2917083421

1.2510334049

1.2202849359

1.1962311989

7

1.3204692478

1.2753731069

1.2413658170

1.2148140440

8

1.3459001926

1.2968395547

1.2599210499

1.2311444133

9

1.3687381066

1.3160740130

1.2765180070

1.2457309396

10

1.3894954944

1.3335214322

1.2915496650

1.2589254118

11

1.4085438884

1.3495037187

1.3052998808

1.2709816152

12

1.4261616352

1.3642616018

1.3179806292

1.2820888540

13

1.4425629194

1.3779800151

1.3297545456

1.2923922208

14

1.4579162496

1.3908042351

1.3407492402

1.3020054543

15

1.4723567002

1.4028505520

1.3510667516

1.3110194230

16

1.4859942891

1.4142135624

1.3607900002

1.3195079108

17

1.4989198721

1.4249712926

1.3699873177

1.3275316749

18

1.5112093905

1.4351888879

1.3787157053

1.3351413625

19

1.5229269982

1.4449213231

1.3870232258

1.3423796510

20

1.5341274046

1.4542154334

1.3949507940

1.3492828477

 

Alle voci espansione di Engel, espansione di Lehmer, espansione di Pierce, frazioni continuefrazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni delle radici di varie costanti.

 

In alcuni casi una formula contenente radicali all’interno di altri radicali può essere ridotta a una somma di radicali. Nei secoli si sono accumulate varie identità valide in casi particolari, come l’identità sqrt(a ± b * sqrt(c)) = sqrt((a + sqrt(a^2 – b^2 * c)) / 2) ± sqrt((a – sqrt(a^2 – b^2 * c)) / 2), conveniente se a2b2c è un quadrato, ma il primo algoritmo generale per decidere quando la semplificazione sia possibile fu trovato solo nel 1986 da Susan Landau.

Alcuni stravaganti casi particolari si devono a Ramanujan:

Semplificazione di ((3 + 2 * 5^(1/4)) / (3 – 2 * 5^(1/4)))^(1 / 4);

Semplificazione di sqrt(28^(1/3) – 27^(1/3));

Semplificazione di ((32 / 5)^(1/5) – (27 / 5)^(1/5))^(1 / 3);

Semplificazione di (2^(1/3) – 1)^(1 / 3);

Semplificazione di (49 + 20 * sqrt(4))^(1 / 4) + (49 – 20 * sqrt(4))^(1 / 4);

Semplificazione di ((sqrt(2) + sqrt(3)) * (5 – sqrt(6)) + 3 * (3 * sqrt(2) + 2 * sqrt(3)))^(1 / 3).

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