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Schinzel e Sierpiński (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Andrzej Schinzel e Wacław Franciszek Sierpiński avanzarono alcune congetture sui numeri primi; riporto le più famose.

 

Esistono infiniti numeri di Fermat non multipli di un quadrato.

La congettura è plausibile, anche perché al momento non si conosce alcun quadrato che divida un numero di Fermat.

 

Ogni numero razionale positivo x può essere espresso come x = (p + 1) / (q + 1), con p e q primi.

La congettura si può anche esprimere dicendo che per qualsiasi coppia di interi positivi a e b esiste una soluzione dell’equazione apbq = ba e in questi termini assomiglia ad altre congetture:

La congettura deriverebbe dalla congettura di Dickson, se quest’ultima venisse dimostrata.

 

Per ogni primo p, scrivendo i numeri naturali da 1 a p2 in ordine in una matrice p × p, si trova almeno un primo in ogni riga e colonna.

Per esempio, per p = 7 abbiamo la matrice seguente.

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Formalmente la congettura si può enunciare dicendo che per ogni primo p e per ogni intero n da 0 a p – 1 esiste sempre almeno un primo tra p e (n + 1)p, e almeno un primo della forma kp + n non superiore a p2.

 

Sembra che la congettura sia stata enunciata da Sierpiński nel 1958 per le righe e per qualsiasi valore di p, anche composto, e modificata da Schinzel per la parte riguardante le colonne; se p è composto l’affermazione vale per le sole colonne k-esime, con k primo rispetto a p.

Nel 1963 Kanold la propose nuovamente.

 

Jud McCranie verificò la congettura per p fino a 23929.

Julio Cesar Aguilar verificò la congettura per p fino a 790000.

 

Enoch propose una versione ancora più forte: per ogni primo p, scrivendo i numeri naturali da 1 a p2 in ordine in una matrice p × p, è possibile scegliere un insieme di p primi, tali che ve ne sia esattamente uno per ogni riga e colonna. La verifica di questa congettura, molto più complessa, è arrivata fino a 26991 (Daniel Gronau).

Vedi anche

Numeri di Fermat.

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