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Primi geometricamente deboli

Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi geometricamente deboli” i numeri primi minori della media geometrica dei primi precedente e successivo, come 7 < sqrt(5 * 11), oltre a 2, per convenzione.

Tutti gli elementi maggiori di una coppia di primi gemelli, tranne 5, sono geometricamente deboli.

 

I primi geometricamente deboli minori di 1000 sono: 2, 3, 7, 13, 19, 23, 31, 43, 47, 61, 73, 83, 89, 103, 109, 113, 131, 139, 151, 167, 181, 193, 199, 229, 233, 241, 271, 283, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 359, 383, 389, 401, 409, 421, 433, 443, 449, 463, 467, 491, 503, 509, 523, 547, 571, 577, 601, 619, 643, 647, 661, 677, 683, 691, 709, 743, 761, 773, 797, 811, 823, 829, 839, 859, 863, 883, 887, 911, 919, 941, 953, 971, 983, 997.

 

Un primo geometricamente debole è anche aritmeticamente debole; non si conosce alcun primo che sia aritmeticamente debole ma non geometricamente debole, se esistono sono maggiori di 109 (M. Fiorentini, 2017) e, se per ogni valore di n p(n + 1) – p(n) < 2 * sqrt(2) / 3 * p(n) (come implicano alcune congetture, tra le quali quella di Cramér – Granville), non ne esistono (M. Fiorentini, 2017).

 

L’esistenza di infiniti primi non geometricamente deboli deriva dall’esistenza di infiniti primi buoni, dimostrata da Carl Pomerance nel 1979.

 

Come per i primi aritmeticamente deboli, l’idea può essere estesa, definendo “primi geometricamente deboli di ordine n” i primi che sono minori della media geometrica dei k primi precedenti e di altrettanti successivi, per k da 1 a n.

Per esempio, con questa definizione 23 è geometricamente debole di ordine 2, perchè 23 < sqrt(19 * 29) e 23 < (17 * 19 * 29 * 31)^(1 / 4), ma 23 > (13 * 17 * 19 * 29 * 31 * 37)^(1 / 6).

Qui trovate i primi geometricamente deboli di questo tipo minori di 106, ciascuno seguito dal suo ordine (M. Fiorentini, 2016).

 

Con questa definizione l’unico primo pn geometricamente debole di ordine n – 1, ossia del massimo ordine possibile, è 3; se ve ne sono altri, sono maggiori di 109; ho avanzato la congettura che 3 sia l’unico primo con questa proprietà.

 

Una diversa generalizzazione consiste nel considerare “primi geometricamente deboli di ordine n” i primi minori della media geometrica del k-esimo primo precedente e del k-esimo seguente, per k da 1 a n. Un primo geometricamente debole di ordine n con questa definizione lo è anche con la precedente, ma non viceversa.

Per esempio, con questa definizione 43 è geometricamente debole di ordine 2, perchè 43 < sqrt(41 * 47) e 43 < sqrt(37 * 53), ma 43 > sqrt(31 * 59).

Qui trovate i primi geometricamente deboli di questo tipo minori di 106, ciascuno seguito dal suo ordine (M. Fiorentini, 2016).

 

Con questa definizione l’unico primo pn geometricamente debole di ordine n – 1, ossia del massimo ordine possibile, è 3; se ve ne sono altri, sono maggiori di 109; ho avanzato la congettura che 3 sia l’unico primo con questa proprietà.

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