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Primi aritmeticamente deboli

Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi aritmeticamente deboli” i numeri primi minori della media aritmetica del primo precedente e successivo, come 7 < (5 + 11) / 2. I primi aritmeticamente deboli sono quindi i primi maggiori di 2 che sono più vicini al precedente che al successivo; quelli più vicini al successivo si chiamano invece “primi forti”.

 

Solo 2 (per il quale non esiste un primo precedente) e 5 (equidistante da 3 e 7) non sono né aritmeticamente deboli né forti.

 

Tutti gli elementi maggiori di una coppia di primi gemelli, tranne 5, sono aritmeticamente deboli, tutti gli elementi minori di una coppia di primi gemelli, tranne 3 e 5, sono forti.

 

I primi aritmeticamente deboli minori di 1000 sono: 3, 7, 13, 19, 23, 31, 43, 47, 61, 73, 83, 89, 103, 109, 113, 131, 139, 151, 167, 181, 193, 199, 229, 233, 241, 271, 283, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 359, 383, 389, 401, 409, 421, 433, 443, 449, 463, 467, 491, 503, 509, 523, 547, 571, 577, 601, 619, 643, 647, 661, 677, 683, 691, 709, 743, 761, 773, 797, 811, 823, 829, 839, 859, 863, 883, 887, 911, 919, 941, 953, 971, 983, 997.

 

Erdös avanzò la congettura dell’esistenza di infinite coppie di primi aritmeticamente deboli consecutivi.

 

La tabella seguente mostra il primo elemento della minima sequenza di n primi aritmeticamente deboli consecutivi, per n fino a 14 (Jonathan Sondow, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Primo elemento

1

3

2

19

3

349

4

2909

5

15377

6

128983

7

1319411

8

17797519

9

94097539

10

6927837559

11

48486712787

12

968068681519

13

1472840004019

14

129001208165719

 

L’idea può essere estesa, definendo “primi aritmeticamente deboli di ordine n" i primi che sono minori della media aritmetica dei k primi precedenti e di altrettanti successivi, per k da 1 a n.

Per esempio, con questa definizione 103 è aritmeticamente debole di ordine 2, perchè 103 < (101 + 107) / 2 e 103 < (97 + 101 + 107 + 109) / 4, ma 103 > (89 + 97 + 101 + 107 + 109 + 113) / 6.

Qui trovate i primi aritmeticamente deboli di questo tipo minori di 106, ciascuno seguito dal suo ordine (M. Fiorentini, 2016).

 

I primi pn aritmeticamente deboli di ordine n – 1, ossia del massimo ordine possibile, minori di 1000 sono: 3, 7, 13, 19, 23, 31, 43, 47, 61, 73, 83, 109, 113, 139, 167, 181, 199, 233, 241, 271, 283, 293, 313, 317, 401, 443, 449, 463, 467, 503, 509, 523, 619, 647, 661, 683, 691, 743, 761, 773, 829, 839, 859, 863, 883, 887.

Qui trovate i primi pn aritmeticamente deboli di questo tipo di ordine n – 1 minori di 108 (2.4 Mbyte) (M. Fiorentini, 2016).

 

Una diversa generalizzazione consiste nel considerare “primi aritmeticamente deboli di ordine n” i primi minori della media aritmetica del k-esimo primo precedente e del k-esimo seguente, per k da 1 a n. Un primo aritmeticamente debole di ordine n con questa definizione lo è anche con la precedente, ma non viceversa.

Per esempio, con questa definizione 31 è aritmeticamente debole di ordine 2, perchè 31 < (29 + 37) / 2 e 31 < (23 + 41) / 2, ma 31 < (23 + 41) / 2.

Qui trovate i primi aritmeticamente deboli di questo tipo minori di 106, ciascuno seguito dal suo ordine (M. Fiorentini, 2016).

 

Con questa definizione i primi pn aritmeticamente deboli di ordine n – 1, ossia del massimo ordine possibile, minori di 1000 sono: 3, 7, 19, 23, 43, 47, 73, 109, 113, 199, 283, 293, 313, 317, 463, 467, 503, 509, 523, 619, 661, 683, 691, 887.

Qui trovate i primi pn aritmeticamente deboli di questo tipo di ordine n – 1 minori di 109 (M. Fiorentini, 2016).

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