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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. “Torri” di esponenti

xy indica l’elevamento a potenza di x alla y; base ed esponente possono essere reali o complessi.

 

Le potenze furono inizialmente definite come il prodotto di un numero per se stesso, tante volte quante indicato dall’esponente. La definizione originale, che prevedeva solo esponenti interi, fu poi allargata a potenze con esponente negativo e razionale, da Nicholas Oresme (1323 – 1382), infine a potenze con esponente reale e complesso.

 

Le potenze furono inizialmente definite come il prodotto di un numero per se stesso, tante volte quante indicato dall’esponente. La definizione originale, che prevedeva solo esponenti interi, fu poi allargata a potenze con esponente negativo e razionale, da Nicholas Oresme (1323 – 1382), infine a potenze con esponente reale e complesso. La prima teoria completa di potenze con base ed esponente complessi si deve a Martinn Ohm (Erlangen, Germania, 6/5/1792  - Berlino, 1/4/1872), nel 1823.

 

Le potenze con esponente razionale furono dapprima studiate in relazione al calcolo di interessi: la prima equazione esponenziale della quale si abbia traccia si trova su una tavoletta babilonese; il testo recita: “Si presta con interesse un gur. Dopo quanti anni capitale e interesse saranno uguali?” Si presume che il tasso t sia noto dal contesto; nella notazione odierna l’equazione si può scrivere come (1 + t)x – 1 = 1.

Il codice di Hammurabi (XVIII secolo a.C.) fissa un tasso massimo del 20% annuo, comminando pene ai trasgressori, e la tavoletta utilizza proprio tale tasso. La soluzione è circa 3.8017840169, ossia circa 3 anni e 293 giorni, ma la tavoletta suggerisce un’interpolazione lineare tra 3 e 4 anni e dà come soluzione tre anni e 85 / 108, ossia circa 3 anni e 287 giorni.

 

Per il valore di 00 v. potenze.

 

Il teorema di Gelfond – Schneider ci dice che se x e y sono algebrici, x è diverso da 0 e 1 e y è irrazionale, xy è trascendente (v. numeri trascendenti).

 

Se x, y e z sono reali qualsiasi tali che x + y + z = 0, ma non tutti e tre nulli, l’identità Identità che coinvolge potenze vale se e solo se m e n sono { 2, 3 } o { 2, 5 }. Se si aggiunge la condizione che x, y e z siano diversi da 0, permettendo quindi anche esponenti negativi, allora l’identità vale anche se se m e n sono { –1, 3 }. La dimostrazione, ottenibile con metodi elementari, fu proposta come problema nelle olimpiadi matematiche statunitensi del 1982, per studenti delle medie superiori (si veda USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986, citato nella bibliografia).

 

Dati n numeri reali x1, x2, ... xn, possiamo dimostrare che sono tutti 1 o 0 se e solo se vale una delle seguenti relazioni tra le loro potenze:

  • Formula che coinvolge somme di potenze;

  • Formula che coinvolge somme di potenze per una coppia di interi positivi distinti m e r;

  • Formula che coinvolge somme di potenze per una terna di interi positivi distinti m, r e s maggiori di 1.

 

L’equazione ax = x non può essere risolta tramite funzioni elementari, ma è risolubile tramite la funzione W di Lambert: Soluzione dell'equazione a^x = x.

 

Eulero e Goldbach dimostrarono che l’equazione xy = yx ha come unica soluzione intera x =2, y = 4 (o viceversa) e che x = (1 + 1 / n)^ny = (1 + 1 / n)^n sono soluzioni razionali per n intero e maggiore di zero. Nel 1990 Marta Sved dimostrò che queste sono le uniche soluzioni razionali. Al crescere di n, x e y tendono a e.

 

L’equazione xy = xy oltre ai casi banali x qualsiasi, y = 1 e x = 0, y diverso da 0, ha come soluzione generale x = (a + 1)^(1 / a), y = a + 1. La soluzione è intera solo se a = 1, nel qual caso x = y = 2, e razionale se a = 1 / n con n intero e maggiore di zero, nel qual caso x = (1 + 1 / n)^n e y = 1 + 1 / n. Per esempio, per n = 2 abbiamo x = 9 / 4 e y = 3 / 2 e per per n = 3 abbiamo x = 64 / 27 e y = 4 / 3; al crescere di n, x tende a e e y tende a 1.

 

Se in una potenza l’esponente è uguale alla base, abbiamo la funzione a crescita rapidissima xx, che ha un massimo per x = e e un minimo per x = 1 / e. Per la funzione vale lo sviluppo in serie Espansione in serie di x^x.

La funzione pone alcuni interessanti problemi. Per esempio, è sempre unica la soluzione dell’equazione xx = y? E’ facile vedere che xx = 27 ha un’unica soluzione (x = 3), come pure xx = 4 (x = 2), ma x^x = sqrt(2) / 2 ha due soluzioni: x = 1 / 2 e x = 1 / 4.

In generale:

  • Soluzione dell'equazione x^x = y (inteso come limite quando il numero di logaritmi a denominatore tende a infinito) è l’unica soluzione, se y ≥ ee ≈ 15.1542622415;

  • Soluzione dell'equazione x^x = y (inteso come limite quando il numero di esponenti tende a infinito) è l’unica soluzione, se 1 ≤ y ≤ ee;

  • Soluzione dell'equazione x^x = y (inteso come limite quando il numero di logaritmi a denominatore tende a infinito) e Soluzione dell'equazione x^x = y (inteso come limite quando il numero di esponenti tende a infinito) sono le uniche soluzioni, se 1 ≥ y ≥ 1 / e^e;

  • per y < 1 / e^e l’equazione non ha soluzioni.

 

La funzione y^(1 / x) ha un minimo per x = 1 / e; la funzione inversa di y^(1 / x) si può esprimere come Soluzione dell'equazione x^(1 / x) = y, ma solo per e^(–e) ≤ y ≤ e^(1 / e); per 1 ≤ y ≤ e^(1 / e) vi sono due valori di x tali che y^(1 / x); per e–ey ≤ 1 ve n’è uno solo.

 

Per esponenti uguali al reciproco della base ci sono due equazioni con soluzioni razionali: Im(x^(1 / x)) = Re(x^(1 / x)) per x = – 4 / (4 * n + 3)Im((–1)^x * x^(1 / x)) = Re((–1)^x * x^(1 / x)) per x = (4 * n + 9) / 4.

 

Alcuni integrali legati a somme di reciproci di potenze di interi:

Integrale legato a potenze di interi (Johann Bernoulli, 1697);

Integrale legato a potenze di interi (Johann Bernoulli, 1697).

Per ottime approssimazioni delle ultime due costanti v. potenze.

 

Per potenze di interi v. anche potenze.

Per potenze con esponente razionale v. anche radici n-esime.

Per le potenze di somme, v. coefficienti binomiali, coefficienti trinomiali e coefficienti multinomiali.

Bibliografia

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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