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xy

Funzioni 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. “Torri” di esponenti

xy indica l’elevamento a potenza di x alla y; base ed esponente possono essere reali o complessi.

 

Le potenze furono inizialmente definite come il prodotto di un numero per se stesso, tante volte quante indicato dall’esponente. La definizione originale, che prevedeva solo esponenti interi, fu poi allargata a potenze con esponente negativo e razionale, da Nicholas Oresme (1323 – 1382), infine a potenze con esponente reale e complesso.

 

Per il valore di 00 v. potenze.

 

Il teorema di Gelfond – Schneider ci dice che se x e y sono algebrici, x è diverso da 0 e 1 e y è irrazionale, xy è trascendente (v. numeri trascendenti).

 

Alcune formule che coinvolgono potenze:

xaxb = xa + c, per x diverso da 0 (la dimostrazione risale ad Archimede);

x^a / x^b = x^(a – b) e in particolare 1 / x^a = x^(–1), per x diverso da 0;

xa + b = xaxb;

(xa)b = xab, per a e b reali;

xaya = (xy)a, per x, y reali positivi e a reale;

Formula per la definizione di potenze con esponente razionale e in particolare Formula per la definizione di x^(1 / a);

xy = eylogx;

Re(xz) = xRe(z)cos(Im(z)logx), Im(xz) = xRe(z)sin(Im(z)logx) e |xz| = xRe(z), per x reale e maggiore di zero;

Re((i * y)^x) = |y|^x * cos(π * x / 2), per x e y reali, Im((i * y)^x) = |y|^x * sin(π * x / 2), per x reale e y reale positivo e |(iy)x| = |y|x, per x e y reali;

|zix| = exIm(logz), per x reale;

|zix| = extan–1(Im(z), Re(z)) , per x reale;

Re(zx) = |z|xcos(xtan–1(Im(z), Re(z)), Im(zx) = |z|xsin(xtan–1(Im(z), Re(z)) e |zx| = |z|x, per x reale;

|zw| = eRe(wlogz);

|zix| = eRe(w)log|z| – Im(w)tan–1(Im(z), Re(z))

Formula per Re(z^x)e Formula per Im(z^x), per x reale;

Formula per Re(z^n) e Formula per Im(z^n), per n intero positivo;

Formula per arctan(Im(z^w), Re(z^w)) e in particolare Formula per arctan(Im(z^x), Re(z^x)), per x reale;

Formula per arctan(Im(z^x), Re(z^x)), per x reale;

xw = xRe(w)(cos(Im(w)logx) – isin(Im(w)logx)), per x reale e maggiore di zero;

Formula per z elevata al coniugato di w;

Formula per il coniugato di z elevato a w;

zx = |z|x(cos(tan–1(Im(w), Re(w))) – isin(tan–1(Im(w), Re(w)))), per x reale;

zw = |z|Re(w)ewtan–1(Im(w), Re(w)) – iIm(w)log|z|;

zw = zw(cos(2tan–1(Im(w), Re(w))) – isin(2tan–1(Im(w), Re(w))))ewtan–1(Im(z), Re(z))(Icos(2tan–1(Im(w), Re(w))) + sin(2tan–1(Im(w), Re(w))));

z^(log(w) / log(z)) = w;

Formula per una somma di potenze;

Formula per una somma di potenze, per x reale positivo, dove Bk(n) indica il k-esimo polinomio di Bernoulli;

Formula per il valore di una potenza, per |z| < 1 e w non intero, e quindi Formula per il valore di una potenza, per |1 – z| < 1 e w non intero;

Formula per il valore di una potenza, per |z| < 1, e in particolare Formula per il valore di una potenza e Formula per il valore di una potenza;

 

Formula per il valore di una potenza e in particolare Formula per il valore di una potenza e Formula per una somma di potenze;

Formula che coinvolge potenze, per Limite superiore per il valore assoluto di s, dove Bn indica l’n-esimo numero di Bernoulli;

Limite che coinvolge potenze;

Limite che coinvolge potenze;

Limite che coinvolge potenze, per t reale positivo;

Limite che coinvolge potenze, per x reale e maggiore di 0;

Limite che coinvolge potenze, per x reale e maggiore di 0;

Formula per la derivata n-esima di una potenza e in particolare Formula per la derivata n-esima di una potenza, Formula per la derivata n-esima di una potenza, Formula per la derivata n-esima di una potenza e Formula per la derivata di una potenza;

Formula per la derivata n-esima di una potenza;

Formula per la derivata n-esima di una potenza;

Formula per la derivata di una potenza;

Formula per l’integrale indefinito di x^y, per y diverso da –1, e in particolare Formula per l’integrale per x da 0 a 1 di x^y, per y diverso da –1;

Formula per l’integrale indefinito di x^(–1);

Formula per l’integrale da 0 a 1 di x^a * (1 – x)^b, per a e b non negativi;

Formula per l’integrale da 0 a 1 di x^a * (1 – x)^b * log(x), per a e b non negativi;

Formula per l’integrale indefinito di x^y e in particolare Formula per l’integrale per y da 0 a 1 di x^y;

Formula per l’integrale per x da 0 a 1 di x^y * log(x), per y > –1;

Integrale legato a potenze;

Integrale legato a potenze;

y^(x^y) / x^(y^x) > y / x > y^x / x^y, per 0 < x < y < 1 o 1 < x < y;

(y / x)^(y^x) > y^x / x^y, per 0 < x < y < 1 o 1 < x < y.

 

Vi sono alcune identità che convolgono somme e prodotti contenenti potenze:

  • Identità di Eulero, per 0 < |x| < 1 (Eulero);

  • Identità di Rogers – Ramanujan, per 0 < |x| < 1, detta “identità di Rogers – Ramanujan”;

  • Identità di Rogers – Ramanujan, per 0 < |x| < 1 detta “identità di Rogers – Ramanujan”;

  • identità del triplo prodotto, per 0 < |q| < 1 e x diverso da 0, formula detta “identità del triplo prodotto”, che si può anche esprimere nella forma equivalente identità del triplo prodotto (Jacobi);

  • identità del quintuplo prodotto, per 0 < |q| < 1 e x diverso da 0, formula detta “identità del quintuplo prodotto”, che si può anche esprimere nella forma equivalente identità del quintuplo prodotto (G.N. Watson, 1929).

 

La soluzione dell’equazione differenziale nf(x) = xf’(x) è cxn, per c costante qualsiasi.

 

La soluzione dell’equazione differenziale f'(x) = f(x) * (n * g'(x) / g(x) + h'(x) / h(x)) è ch(x)g(x)n, per c costante qualsiasi.

 

Alcune frazioni continue che coinvolgono potenze:

Frazione continua per (1 + z)^a, per z non reale e minore di –1;

Frazione continua per (1 + z)^a, per |z| ≤ 1 / 2;

Frazione continua per (1 + z)^a, per z non reale e minore di –1;

Frazione continua per (1 + z)^a, per |z| < 1.

 

Per potenze di interi v. anche potenze.

Per potenze con esponente razionale v. anche radici n-esime.

 

Per le potenze di somme, v. coefficienti binomiali, coefficienti trinomiali e coefficienti multinomiali.

 

Se x, y e z sono reali qualsiasi tali che x + y + z = 0, ma non tutti e tre nulli, l’identità Identità che coinvolge potenze vale se e solo se m e n sono { 2, 3 } o { 2, 5 }. Se si aggiunge la condizione che x, y e z siano diversi da 0, permettendo quindi anche esponenti negativi, allora l’identità vale anche se se m e n sono { –1, 3 }. La dimostrazione, ottenibile con metodi elementari, fu proposta come problema nelle olimpiadi matematiche statunitensi del 1982, per studenti delle medie superiori (si veda USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986, citato nella bibliografia).

 

Dati n numeri reali x1, x2, ... xn, possiamo dimostrare che sono tutti 1 o 0 se e solo se vale una delle seguenti relazioni tra le loro potenze:

  • Formula che coinvolge somme di potenze;

  • Formula che coinvolge somme di potenze per una coppia di interi positivi distinti m e r;

  • Formula che coinvolge somme di potenze per una terna di interi positivi distinti m, r e s maggiori di 1.

 

L’equazione ax = x non può essere risolta tramite funzioni elementari, ma è risolubile tramite la funzione W di Lambert: Soluzione dell'equazione a^x = x.

 

Eulero e Goldbach dimostrarono che l’equazione xy = yx ha come unica soluzione intera x =2, y = 4 (o viceversa) e che x = (1 + 1 / n)^ny = (1 + 1 / n)^n sono soluzioni razionali per n > 0. Nel 1990 Marta Sved dimostrò che queste sono le uniche soluzioni razionali.

 

Se in una potenza l’esponente è uguale alla base, abbiamo la funzione a crescita rapidissima xx, che ha un massimo per x = e e un minimo per x = 1 / e. Per la funzione vale lo sviluppo in serie Espansione in serie di x^x.

La funzione pone alcuni interessanti problemi. Per esempio, è sempre unica la soluzione dell’equazione xx = y? E’ facile vedere che xx = 27 ha un’unica soluzione (x = 3), come pure xx = 4 (x = 2), ma x^x = sqrt(2) / 2 ha due soluzioni: x = 1 / 2 e x = 1 / 4.

In generale:

  • Soluzione dell'equazione x^x = y (inteso come limite quando il numero di logaritmi a denominatore tende a infinito) è l’unica soluzione, se y ≥ ee ≈ 15.1542622415;

  • Soluzione dell'equazione x^x = y (inteso come limite quando il numero di esponenti tende a infinito) è l’unica soluzione, se 1 ≤ y ≤ ee;

  • Soluzione dell'equazione x^x = y (inteso come limite quando il numero di logaritmi a denominatore tende a infinito) e Soluzione dell'equazione x^x = y (inteso come limite quando il numero di esponenti tende a infinito) sono le uniche soluzioni, se 1 ≥ y ≥ 1 / e^e;

  • per y < 1 / e^e l’equazione non ha soluzioni.

 

Se l’esponente è il reciproco della base, abbiamo due interessanti frazioni continue, per z non reale e negativo o nullo (A.N. Khovanskii, 1963): Frazione continua per x^(1 / x) e Frazione continua per x^(1 / x).

 

La funzione y^(1 / x) ha un minimo per x = 1 / e; la funzione inversa di y^(1 / x) si può esprimere come Soluzione dell'equazione x^(1 / x) = y, ma solo per e^(–e) ≤ y ≤ e^(1 / e); per 1 ≤ y ≤ e^(1 / e) vi sono due valori di x tali che y^(1 / x); per e–ey ≤ 1 ve n’è uno solo.

 

Per esponenti uguali al reciproco della base ci sono due equazioni con soluzioni razionali: Im(x^(1 / x)) = Re(x^(1 / x)) per x = – 4 / (4 * n + 3)Im((–1)^x * x^(1 / x)) = Re((–1)^x * x^(1 / x)) per x = (4 * n + 9) / 4.

 

Alcuni integrali legati a somme di reciproci di potenze di interi:

Integrale legato a potenze di interi (Johann Bernoulli, 1697);

Integrale legato a potenze di interi (Johann Bernoulli, 1697).

Per ottime approssimazioni delle utilime due costanti v. potenze.

Vedi anche

Potenze, Radice n-esima.

Bibliografia

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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