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Duffin – Schäffer (congettura di)

Congetture  Rappresentazione dei numeri 

La congettura di Duffin – Schäffer riguarda le approssimazioni di numeri reali tramite numeri razionali.

Afferma che data una funzione f(n) ad argomenti interi che non produca mai valori negativi, per quasi tutti i numeri reali x esistono infinite coppie di interi p e q, primi tra loro, tali che |x – p / q| < f(q) se e solo se la serie Somma per n da 1 a infinito di φ(n) * f(n) è divergente.

L’inverso è vero: se la serie converge, per quasi tutti i numeri reali x le coppie di interi p e q che soddisfano i requisiti sono in numero finito.

Il teorema ergodico di Gallagher assicura che l’insieme dei numeri reali x per i quali la disuguaglianza è soddisfatta da un numero infinito di coppie è costituito da quasi tutti i reali o da un insieme di misura di Lebesgue nulla: non sono possibili misure intermedie.

 

La congettura nacque dagli sforzi di sostituire f(q) = 1 / q^2 con una funzione a valori inferiori, in modo che sia possibile approssimare quasi tutti i reali con infiniti numeri razionali. Nel 1891 A. Hurwitz dimostrò che la miglior funzione possibile è f(q) = 1 / (sqrt(5) * q^2) (v. numeri di Lagrange).

Nel 1924 A. Khintchine dimostrò che se n2f(n) è non decrescente e Somma per n da 1 a infinito di n * f(n) diverge, esistono infinite soluzioni per quasi tutti i numeri reali.

 

Nel 1941 R.J. Duffin e A.C. Schaeffer dimostrarono che il teorema di Khintchine vale se Condizione sufficiente per la validità del teorema di Khintchine per infiniti valori di m e una costante c. I due matematici trovarono quindi un esempio di funzione f(n) tale che Somma per n da 1 a infinito di n * f(n) diverge, ma Somma per n da 1 a infinito di φ(n) * f(n) converge e avanzarono la congettura che la convergenza di quest’ultima serie sia sufficiente.

 

Il primo passo avanti fu compiuto da P. Erdös, che nel 1970 dimostrò che la congettura vale nel caso in cui f(n) assuma solo i valori 0 o c / q^2, per una costante c.

 

Nel 1979 V.G. Sprindzuk propose una generalizzazione multidimensionale: per quasi tutti i k numeri reali x1, x2, … xk, esistono infiniti interi p1, p2, … pk e q, primo rispetto ai precedenti, tali che Massimo di |x – p(n) / q| < f(q) se e solo se Somma per n da 1 a infinito di (φ(n) * f(n))^k diverge.

Questa versione, apparentemente più complicata, è stata risolta: nel 1965 P.X. Gallagher dimostrò che è vera per k > 1, se q e tutti i vari pn sono primi tra loro e nel 1990 A.D. Pollington e R.C. Vaughan dimostrarono la versione multidimensionale nella forma originale, sempre per k > 1.

 

Nel 1988 G. Harman dimostrò che se si considerano sono numeri primi per p e q, con alcune condizioni aggiuntive su f(n) la congettura vale se Somma per p primo di p * f(n) / log(p) diverge, dove la somma va calcolata sui numeri primi.

 

Nel 2011 Victor Beresnevich, Glyn Barman, Alan Haynes e Sanju Velani dimostrarono che la congettura vale se Somma per n da 1 a infinito di φ(n) * f(n) / e^(c * log(log(n)) * log(log(log(n)))) diverge per una costante c.

Vedi anche

Numeri di Lagrange .

Bibliografia

  • Duffin, R.J.;  Schäffer, A.C.;  "Khintchine’s Problem in Metric Diophantine Approximation" in Duke Mathematical Journal, n. 8, 1941, pag. 243 – 255.

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