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Schäffer (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura di Schäffer riguarda le somme di potenze di interi consecutivi a partire da 1 uguali a potenze, cioè le soluzioni intere dell’equazione Somma di k^m per k da 1 a r uguale a s^n.

A parte i casi banali con n = 1 o r = 1, si conoscono le soluzioni:

  • m = 1, n = 2, Formula per rFormula per s i valori di sn sono i numeri sia triangolari che quadrati (v. numeri triangolari);

  • m = 2, n = 2, r = 24, s = 70;

  • m = 3, n = 2, r qualsiasi, Formula per s (v. numeri triangolari);

  • m = 3, n = 4, Formula per r, Formula per s i valori di sn sono i quadrati dei numeri sia triangolari che quadrati;

  • m = 5, n = 2, Formula per r, Formula per s.

 

Moret-Blanc dimostrò nel 1881 che per m = 2 l’unica soluzione con n fino a 5 è quella citata.

 

G.N. Watson dimostrò nel 1918 che non esistono altre soluzioni per:

  • m = 2, 4, 6, 8, 9 o 10 e n = 2;

  • m = 1 e n = 4;

  • m = 3 e n = 8;

  • m = 5 e n = 4.

 

Nel 1956 J.J. Schäffer dimostrò che per m > 0 e n > 1 fissati, le soluzioni sono in numero finito, tranne nei casi citati. Schäffer avanzò quindi la congettura che le uniche soluzioni con m > 0, n > 1 e r > 1 siano quelle sopra riportate.

 

Schäffer dimostrò la congettura per alcune combinazioni di m e n:

  • m = 1 o 5 e n = 4;

  • m = 3 e n = 8;

  • m = 4, 6, 8, 9 o 10 e n = 2;

  • m ≤ 11 e n = 3 o 5.

 

Nel 1997 Ákos Pintér dimostrò che per m > 1 le soluzioni sono possibili solo per n < cm2log(2m), per una costante c.

 

M.J. Jacobson, Ákos Pintér e P.G. Walsh dimostrarono nel 2003 la congettura per m pari fino a 58 e n = 2.

 

Michael A.Bennett, Kálmán Györy e Ákos Pintér dimostrarono nel 2004 la congettura per m ≤ 11 e n qualsiasi e indicarono metodi per affrontare varie combinazioni di m e n.

 

La congettura resta quindi aperta per m > 11, tranne che per m pari fino a 58 e n = 2.

Vedi anche

Potenze.

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