Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Somos (numeri di)

Sequenze 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Triangoli eroniani
  3. 3. Altre sequenze contenenti solo numeri interi

Sono state studiate anche altre sequenze che producono sempre interi, senza apparente motivo; ne presento solo qualche esempio.

 

Un comportamento analogo alle sequenze di Somos hanno le sequenze definite come:

  • an = 1, per n da 0 a k;

  • Formula per la definizione della ricorrenza per a(n), per n > k.

Infatti:

  • per k = 2 la sequenza contiene solo termini uguali a 1;

  • per k = 3 la sequenza diviene a0 = a1 = a2 = 1, Formula per la definizione della ricorrenza per a(n) per n ≥ 4; i primi termini successivi sono 3, 13, 217, 16693, 21717363, 2175145909081, 283430597537694797281, 3699017428454717709381715649628841; asintoticamente an tende a Limite asintotico cui tende a(n), dove c è circa 1.902254978346365075882696720546123493664 (Vaclav Kotesovec, 2015);

  • per k = 4 la sequenza diviene a0 = a1 = a2 = a3 = 1, Formula per la definizione della ricorrenza per a(n) per n ≥ 4; i primi termini successivi sono 6, 51, 3001, 9180001, 14050074147451, 3870680638643416483474006, 4992392071450646411005278674572370014340582601; asintoticamente an tende a Limite asintotico cui tende a(n), dove c è circa 1.2712241060822553131735186905646486868228186258439 e t è la costante di tribonacci (Vaclav Kotesovec, 2015);

  • per k > 4 le sequenze contengono termini razionali non interi.

 

Anche le sequenze definite come a0 = a1 = 1, Formula per la definizione della ricorrenza per a(n) sorprendentemente contengono solo interi per qualsiasi valore intero positivo di k. Se k = 1, la sequenza risultante è formata dai numeri di Fibonacci di indice dispari.

 

La sequenza di Dana Scott, simile a Somos-4, è definita fissando a0 = a1 = a2 = a3 = 1, Formula per la definizione della ricorrenza per la sequenza di Dana Scott per n > 3; anche in questo caso tutti i termini sono interi. I primi termini successivi sono: 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 13, 22, 41, 111, 191, 361, 982.

 

Le sequenze definite da Paul Heideman e Emilie Hogan come: an = 1 per n da 0 a k – 1, Formula per la definizione delle ricorrenze per le sequenze di Heideman e Hogan, per nk, con k dispari maggiore di 1 contengono solo numeri interi. Tali sequenze infatti sono uguali a quelle prodotte dalla ricorrenza bn = an per n < 3k – 3, Formula per la definizione della ricorrenza per la sequenza b(n) per n ≥ 3k – 3.

Per k = 3 la sequenza si riduce a Formula per la definizione della ricorrenza per la sequenza a(n); i primi valori sono: 1, 1, 1, 3, 7, 31, 85, 393, 1093, 5071, 14119, 65523, 182449, 846721, 2357713, 10941843, 30467815, 141397231, 393723877, 1827222153, 5087942581, 23612490751, 65749529671, 305135157603, 849655943137, 3943144558081.

I due matematici avanzarono anche la congettura che qualsiasi sequenza definita come an = 1 per n da 0 a k – 1, per nk contenga solo interi se r < kr < k, per nk e s < ks < k e se e solo se vale una delle seguenti condizioni:

  • k è pari, r è pari e s = k / 2;

  • k è pari, r è dispari e s = r / 2s = k / 2 o s = (k – r) / 2;

  • k è dispari, r è pari e s = r / 2;

  • k è dispari, r è dispari e s = (k – r) / 2.

 

Sergey Fomin e Andrei Zelevinsky dimostrarono nel 2001 che la sequenza di Gale – Robinson, definita come yk = 1, per k da 0 a n – 1, Formula per la definizione della ricorrenza per la sequenza di Gale – Robinson, per nk, con k = p + q + r e α, β e γ interi, contiene solo interi. Da notare che alcune sequenze di Somos sono casi particolari di questa sequenza;

  • per k = 4, p = 1, q = 2, r = 1, α = β = 1, γ = 0 abbiamo Somos-4;

  • per k = 5, p = 1, q = 2, r = 2, α = β = 1, γ = 0 abbiamo Somos-5;

  • per k = 6, p = 1, q = 2, r = 3, α = β = γ = 1 abbiamo Somos-6;

  • per k = 7, p = 1, q = 2, r = 4, α = β = γ = 1 abbiamo Somos-7.

Fomin e Zelevinsky dimostrarono anche che la sequenza a0 = a1 = a2 = a3 = 1, Formula per la definizione della ricorrenza per la sequenza a(n) per n ≥ 4 contiene solo interi, se p, q e r sono interi maggiori di zero.

 

Le sequenza definita come a0 = a1 = a2 = 1, Formula per la definizione della ricorrenza per la sequenza a(n) contiene solo interi; infatti, la sequenza è uguale a quella prodotta dalla ricorrenza b0 = b1 = b2 = 1, b3 = 2, bn = 4bn – 2bn – 4 per n > 3.

I primi termini sono: 1, 1, 1, 2, 3, 7, 11, 26, 41, 97.

Dalla seconda forma della ricorrenza si ricava una formula chiusa per an: Formula per il calcolo di a(n), per n pari, Formula per il calcolo di a(n), per n dispari.

Questa sequenza ha una sorprendente interpretazione combinatoria: a2n + 2 è il numero di modi per ricoprire con domini un rettangolo 3 × 2n.

La funzione generatrice della sequenza è Funzione generatrice della sequenza.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Gale, D.;  "Mathematical Entertainments: The Strange and Surprising Saga of the Somos Sequences" in Mathematical Intelligencer, n. 13, pag. 40 – 42, 1991.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.