Somos (numeri di)

Un triangolo eroniano è un triangolo con lati e area razionali; moltiplicandoli per il minimo comune multiplo dei denominatori, si ottiene un triangolo con lati e area interi e questa viene talvolta presa come definizione di triangolo eroniano. Tutte le terne pitagoriche costituiscono i lati di triangoli eroniani (v. numeri pitagorici (I)).

Il problema di costruire triangoli eroniani è molto antico; la prima soluzione generale si deve al matematico indiano Brahmagupta, che trovò nel 598 una famiglia infinita di triangoli eroniani.

Il problema di trovare un triangolo con lati e altezze intere (e quindi area razionale) venne proposto da Bachet, nel suo commentario all’Arithmetica di Diofanto, nel 1621, insieme con alcune varianti, come trovarne uno con lati e un’altezza dati da interi consecutivi, per il quale esiste un’unica soluzione: il triangolo con lati 13, 14 e 15, nel quale l’altezza relativa al lato lungo 14 è lunga 12.

Il matematico giapponese Nakane Genkei trovò nel 1722 una ricorrenza che dà una famiglia infinita di triangoli eroniani con lati consecutivi. Si inizia col familiare triangolo pitagorico a₁ = 3, b₁ = 4, c₁ = 5, con area S₁ = 6 e col triangolo con lati a₂ = 13, b₂ = 14, c₂ = 15, con area S₂ = 84, poi si calcolano lati e area dei successivi triangoli come segue:

• a_n = 4a_{n – 1} – a_{n – 2} + 2;

• b_n = 4b_{n – 1} – b_{n – 2};

• c_n = 4c_{n – 1} – c_{n – 2} - 2;

• S_n = 14S_{n – 1} – S_{n – 2}.

I primi triangoli ottenuti in questo modo sono riportati nella tabella seguente.

n	an	bn	cn	Sn
1	3	4	5	6
2	13	14	15	84
3	51	52	53	1170
4	193	194	195	16296
5	723	724	725	226974
6	2701	2702	2703	3161340
7	10083	10084	10085	44031786
8	37633	37634	37635	613283664
9	140451	140452	140453	8541939510
10	524173	524174	524175	118973869476

 

La soluzione completa fu trovata da Eulero; una versione parametrica, come esposta da Carmichael e Brahmagupta (1952), è:

• a = n(m² + k²),

• b = m(n² + k²),

• c = (m + n)(mn - k²),

con perimetro 2mn(m + n) e area kmn(m + n)(mn – k²), per k, m e n interi positivi.

I minimi triangoli in ordine di lato massimo crescente sono: (3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13), (10, 13, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (10, 10, 16).

 

Risolto il problema di trovarli tutti, si pose il problema di trovarne con le mediane razionali; trovare triangoli con una mediana razionale è relativamente facile (per esempio, basta prendere il triangolo rettangolo corrispondente a una terna pitagorica), quindi il problema era trovarne con due o tre mediane razionali.

Nel 1905 Schubert pubblicò una dimostrazione che un triangolo eroniano non può avere due mediane razionali, ma la dimostrazione si rivelò errata.

In seguito, infatti, Ralph H. Buchholz e Randall R. Rathbun trovarono vari triangoli con due mediane intere, riportati nella tabella seguente, nella quale a, b e c sono i lati, S è l’area e m_a e m_b sono rispettivamente le mediane relative ai lati a e b.

a	b	c	S	ma	mb
146	102	52	1680	35	97
1750	1252	562	221760	433	1144
8736	2482	7346	8168160	3314	7975
29582	28768	22514	302793120	21177	22002
57558	27632	30310	95726400	3589	43874
3647350	371258	3860912	569336866560	2048523	3751059

 

Buchholz e Rathbun dimostrarono nel 1997 che esistono infiniti triangoli eroniani con due mediane intere, trovando un’inaspettata relazione con due sequenze analoghe a Somos-5, ma con differenti valori iniziali, che come Somos-5 contengono solo numeri interi:

• s₀ =1, s₁ = 1, s₂ = 2, s₃ = 3, s₄ = 5, ,

• t₀ =1, t₁ = –1, t₂ = 1, t₃ = 1, t₄ = –7, .

Definendo quindi , , , si possono ottenere i lati di un triangolo eroniano con due mediane razionali come , , c = 1. Moltiplicando poi per il doppio del minimo denominatore comune di a e b, si ottiene un triangolo con lati, area e due mediane intere.

 

Si ignora se esistano triangoli eroniani con tutte e tre le mediane razionali.

Tabelle numeriche

I termini della sequenza Somos-4 fino ad a₁₀₀,
I termini della sequenza Somos-5 fino ad a₁₀₀,
I termini della sequenza Somos-6 fino ad a₁₀₀,
I termini della sequenza Somos-7 fino ad a₁₀₀,
I termini della sequenza di Dana Scott fino ad a₁₀₀,
I termini della sequenza definita dalla ricorrenza b₀ = b₁ = b₂ = 1, b₃ = 2, b_n = 4b_{n – 2} – b_{n – 4} per n > 3, fino a b₁₀₀.

Bibliografia

• Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
• Gale, D.;  "Mathematical Entertainments: The Strange and Surprising Saga of the Somos Sequences" in Mathematical Intelligencer, n. 13, pag. 40 – 42, 1991.

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