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Somos (numeri di)

Sequenze 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Triangoli eroniani
  3. 3. Altre sequenze contenenti solo numeri interi

Un triangolo eroniano è un triangolo con lati e area razionali; moltiplicandoli per il minimo comune multiplo dei denominatori, si ottiene un triangolo con lati e area interi e questa viene talvolta presa come definizione di triangolo eroniano. Tutte le terne pitagoriche costituiscono i lati di triangoli eroniani (v. numeri pitagorici (I)).

Il problema di costruire triangoli eroniani è molto antico; la prima soluzione generale si deve al matematico indiano Brahmagupta, che trovò nel 598 una famiglia infinita di triangoli eroniani.

Il problema di trovare un triangolo con lati e altezze intere (e quindi area razionale) venne proposto da Bachet, nel suo commentario all’Arithmetica di Diofanto, nel 1621, insieme con alcune varianti, come trovarne uno con lati e un’altezza dati da interi consecutivi, per il quale esiste un’unica soluzione: il triangolo con lati 13, 14 e 15, nel quale l’altezza relativa al lato lungo 14 è lunga 12.

Il matematico giapponese Nakane Genkei trovò nel 1722 una ricorrenza che dà una famiglia infinita di triangoli eroniani con lati consecutivi. Si inizia col familiare triangolo pitagorico a1 = 3, b1 = 4, c1 = 5, con area S1 = 6 e col triangolo con lati a2 = 13, b2 = 14, c2 = 15, con area S2 = 84, poi si calcolano lati e area dei successivi triangoli come segue:

  • an = 4an – 1an – 2 + 2;

  • bn = 4bn – 1bn – 2;

  • cn = 4cn – 1cn – 2 - 2;

  • Sn = 14Sn – 1Sn – 2.

I primi triangoli ottenuti in questo modo sono riportati nella tabella seguente.

n

an

bn

cn

Sn

1

3

4

5

6

2

13

14

15

84

3

51

52

53

1170

4

193

194

195

16296

5

723

724

725

226974

6

2701

2702

2703

3161340

7

10083

10084

10085

44031786

8

37633

37634

37635

613283664

9

140451

140452

140453

8541939510

10

524173

524174

524175

118973869476

 

La soluzione completa fu trovata da Eulero; una versione parametrica, come esposta da Carmichael e Brahmagupta (1952), è:

  • a = n(m2 + k2),

  • b = m(n2 + k2),

  • c = (m + n)(mn - k2),

con perimetro 2mn(m + n) e area kmn(m + n)(mnk2), per k, m e n interi positivi.

I minimi triangoli in ordine di lato massimo crescente sono: (3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13), (10, 13, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (10, 10, 16).

 

Risolto il problema di trovarli tutti, si pose il problema di trovarne con le mediane razionali; trovare triangoli con una mediana razionale è relativamente facile (per esempio, basta prendere il triangolo rettangolo corrispondente a una terna pitagorica), quindi il problema era trovarne con due o tre mediane razionali.

Nel 1905 Schubert pubblicò una dimostrazione che un triangolo eroniano non può avere due mediane razionali, ma la dimostrazione si rivelò errata.

In seguito, infatti, Ralph H. Buchholz e Randall R. Rathbun trovarono vari triangoli con due mediane intere, riportati nella tabella seguente, nella quale a, b e c sono i lati, S è l’area e ma e mb sono rispettivamente le mediane relative ai lati a e b.

a

b

c

S

ma

mb

146

102

52

1680

35

97

1750

1252

562

221760

433

1144

8736

2482

7346

8168160

3314

7975

29582

28768

22514

302793120

21177

22002

57558

27632

30310

95726400

3589

43874

3647350

371258

3860912

569336866560

2048523

3751059

 

Buchholz e Rathbun dimostrarono nel 1997 che esistono infiniti triangoli eroniani con due mediane intere, trovando un’inaspettata relazione con due sequenze analoghe a Somos-5, ma con differenti valori iniziali, che come Somos-5 contengono solo numeri interi:

  • s0 =1, s1 = 1, s2 = 2, s3 = 3, s4 = 5, Formula per la definizione della ricorrenza per s(n),

  • t0 =1, t1 = –1, t2 = 1, t3 = 1, t4 = –7, Formula per la definizione della ricorrenza per t(n).

Definendo quindi Formula per la definizione di M(n), Formula per la definizione di P(n), Formula per la definizione di X(n), si possono ottenere i lati di un triangolo eroniano con due mediane razionali come Formula per il calcolo di a, Formula per il calcolo di b, c = 1. Moltiplicando poi per il doppio del minimo denominatore comune di a e b, si ottiene un triangolo con lati, area e due mediane intere.

 

Si ignora se esistano triangoli eroniani con tutte e tre le mediane razionali.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Gale, D.;  "Mathematical Entertainments: The Strange and Surprising Saga of the Somos Sequences" in Mathematical Intelligencer, n. 13, pag. 40 – 42, 1991.

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