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Somos (numeri di)

Sequenze 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Altre sequenze contenenti solo numeri interi

Si chiamano “numeri di Somos” i numeri appartenenti alle sequenze di Somos, così chiamate perché definite da Michael Somos nel 1989. Sono un insieme di sequenze chiamate Somos-k e definite come segue:

  • an = 1, per n da 0 a k – 1;

  • Formula per la definizione delle sequenze di Somos, per nk.

Le prime sequenze non sono interessanti: per k uguale a 2 o 3 si ottiene una sequenza infinita di 1; per k = 4 la formula diviene: a0 = a1 = a2 = a3 = 1, Formula per la definizione della sequenza Somos-4 per n ≥ 4; per k = 5 la formula diviene: a0 = a1 = a2 = a3 = a4 = 1, Formula per la definizione della sequenza Somos-5 per n ≥ 5 e così via.

 

L’aspetto interessante della sequenza per k = 4 è che eseguendo i calcoli si ottengono sempre numeri interi, nonostante a prima vista non se ne veda il motivo e i denominatori crescano rapidamente.

 

Il primo a studiarle fu Morgan Ward che nel 1948 dimostrò che le sequenze definite come a0 = a1 = 1, Formula per la definizione delle sequenze di Ward per n ≥ 4 contengono solo interi se a2 divide a4, per qualsiasi scelta di a2, a3 e a4 interi, anche negativi. Somos-4 è un caso particolare di queste sequenze, con a2 = a3 = 1.

 

Nel 1991 D. Gale pubblicò una semplice dimostrazione che le sequenze Somos-4 e Somos-5 contengono solo interi, attribuendo la prima dimostrazione per Somos-5 a Janice L. Malouf.

Nel 1990 Dean Hickerson dimostrò che anche Somos-6 ha la stessa proprietà e Ben Lotto fece altrettanto per Somos-7 un mese dopo.

Nelle sequenze da Somos-8 in avanti i primi termini sono interi, poi si trovano anche numeri razionali non interi. Il primo termine non intero di Somos-8 è a(17) = 420514 / 7.

Le sequenze Somos-4 e Somos-5 sono connesse a curve ellittiche, nel senso che i valori sono legati a punti con coordinate razionali su curve ellittiche, e sono state studiate per le possibili applicazioni in crittografia.

 

I termini fino ad a20 delle sequenze da Somos-4 a Somos-7 sono riportati nella tabella seguente.

n

Elemento an di Somos-4

Elemento an di Somos-5

Elemento an di Somos-6

Elemento an di Somos-7

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

3

1

1

1

1

4

2

1

1

1

5

3

2

1

1

6

7

3

3

1

7

23

5

5

3

8

59

11

9

5

9

314

37

23

9

10

1529

83

75

17

11

8209

274

421

41

12

83313

1217

1103

137

13

620297

6161

5047

769

14

7869898

22833

41783

1925

15

126742987

165713

281527

7203

16

1687054711

1249441

2534423

34081

17

47301104551

9434290

14161887

227321

18

1123424582771

68570323

232663909

1737001

19

32606721084786

1013908933

3988834875

14736001

20

1662315215971057

11548470571

45788778247

63232441

 

Nel caso di Somos-4 sono state trovate formule che rendono più veloce il calcolo:

  • Formula per il calcolo degli elementi di Somos-4;

  • Formula per il calcolo degli elementi di Somos-4;

  • Formula per il calcolo degli elementi di Somos-4.

 

Formule analoghe per Somos-5 sono:

  • Formula per il calcolo degli elementi di Somos-5;

  • Formula per il calcolo degli elementi di Somos-5;

  • Formula per il calcolo degli elementi di Somos-5.

 

Nel 1989 Somos dimostrò che esiste una straordinaria formula per calcolare gli elementi che formano Somos-6, vale a dire Formula per il calcolo degli elementi di Somos-6, nella quale le 7 costanti hanno i seguenti valori approssimati:

  • c1 ≈ 0.875782749065950194217251,

  • c2 ≈ 1.084125925473763343779968,

  • c3 ≈ 0.114986002186402203509006,

  • c4 ≈ 0.077115634258697284328024,

  • c5 ≈ 1.180397390176742642553759,

  • c6 ≈ 1.508030831265086447098989,

  • c7 ≈ 2.551548771413081602906643.

 

Ogni termine di Somos-4 a partire da a4 = 2 ha un divisore primitivo, ossia un divisore che non divide nessuno dei termini precedenti.

 

R. Jones e Jeremy Rouse dimostrarono nel 2010 che asintoticamente 11 / 21 dei numeri primi dividono almeno un elemento di Somos-4.

Nel 2015 Bryant Davis, Rebecca Kotsonis e Jeremy Rouse dimostrarono che asintoticamente 5087 / 10752 dei numeri primi dividono almeno un elemento di Somos-5.

 

Nessun elemento di Somos-4 e Somos-5 è multiplo di 4.

 

Nella sequenza Somos-4 sono noti pochissimi primi, corrispondenti agli indici: 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 16, 43, 52, 206, 647 (Graham Everest, 2006); gli ultimi due sono solo probabilmente primi; si sospetta che siano in numero finito.

 

Somos-4 e Somos-5 sono periodiche modulo m per ogni intero m > 1 (Raphael M. Rominson, 1992).

 

Quattro termini consecutivi di Somos-4 sono primi tra loro.

 

Due termini di Somos-5 sono primi tra loro, se la differenza degli indici è minore di 6 in valore assoluto (Raphael M. Rominson, 1992).

 

In Somos-5 an divide an + k(2n – 4) per k > 1 (Peter H. van der Kamp, 2015).

 

Sembra che per tutte le sequenze Somos-k valga la relazione Limiti inferiore e superiore per a(n), per tre costanti a, b e c dipendenti dalla sequenza, ma non è stato provato.

 

Christine Swart e Andrew Hone dimostrarono che se si definisce una versione più generale di Somos-4 come Formula per la definizione della sequenza per n ≥ 4, con a0, a1, a2, a3, α e β interi, allora:

  • Formula per la definizione di T ha un valore fisso, indipendente da n; nel caso di Somos-4 il valore è 4;

  • se a0 = ±1, a1, a2 e a3 sono diversi da zero e βT è intero, la sequenza contiene solo numeri interi;

  • se la sequenza contine 8 valori interi consecutivi e MCD(α, β) = MCD(a1, a2) = MCD(α, a0, a2) = MCD(α, a1, a3) = 1, la sequenza contiene solo numeri interi.

Inoltre la sequenza analoga ottenuta da α = –1 / n, β = 1, a0 = 1, a1 = –n, a2 = n e a3 = 1 con n intero contiene solo numeri interi.

I due matematici dimostrarono anche che se si definisce una versione più generale di Somos-5 come Formula per la definizione della sequenza per n ≥ 4, con a0, a1, a2, a3, a3, α e β interi, allora:

  • Formula per la definizione di T ha un valore fisso, indipendente da n; nel caso di Somos-5 il valore è 5;

  • se a0 = ±1, a1 = ±1, a2, a3 e a4 sono diversi da zero e αT è intero, la sequenza contiene solo numeri interi.

 

Un triangolo eroniano è un triangolo con lati e area razionali; moltiplicandoli per il minimo comune multiplo dei denominatori, si ottiene un triangolo con lati e area interi e questa viene talvolta presa come definizione di triangolo eroniano. Tutte le terne pitagoriche costituiscono i lati di triangoli eroniani (v. numeri pitagorici (I)).

Il problema di costruire triangoli eroniani è molto antico; la prima soluzione generale si deve al matematico indiano Brahmagupta, che trovò nel 598 una famiglia infinita di triangoli eroniani.

Il problema di trovare un triangolo con lati e altezze intere (e quindi area razionale) venne proposto da Bachet, nel suo commentario all’Arithmetica di Diofanto, nel 1621, insieme con alcune varianti, come trovarne uno con lati e un’altezza dati da interi consecutivi, per il quale esiste un’unica soluzione: il triangolo con lati 13, 14 e 15, nel quale l’altezza relativa al lato lungo 14 è lunga 12.

Il matematico giapponese Nakane Genkei trovò nel 1722 una ricorrenza che dà una famiglia infinita di triangoli eroniani con lati consecutivi. Si inizia col familiare triangolo pitagorico a1 = 3, b1 = 4, c1 = 5, con area S1 = 6 e col triangolo con lati a2 = 13, b2 = 14, c2 = 15, con area S2 = 84, poi si calcolano lati e area dei successivi triangoli come segue:

  • an = 4an – 1an – 2 + 2;

  • bn = 4bn – 1bn – 2;

  • cn = 4cn – 1cn – 2 - 2;

  • Sn = 14Sn – 1Sn – 2.

I primi triangoli ottenuti in questo modo sono riportati nella tabella seguente.

n

an

bn

cn

Sn

1

3

4

5

6

2

13

14

15

84

3

51

52

53

1170

4

193

194

195

16296

5

723

724

725

226974

6

2701

2702

2703

3161340

7

10083

10084

10085

44031786

8

37633

37634

37635

613283664

9

140451

140452

140453

8541939510

10

524173

524174

524175

118973869476

 

La soluzione completa fu trovata da Eulero; una versione parametrica, come esposta da Carmichael e Brahmagupta (1952), è:

  • a = n(m2 + k2),

  • b = m(n2 + k2),

  • c = (m + n)(mn - k2),

con perimetro 2mn(m + n) e area kmn(m + n)(mnk2), per k, m e n interi positivi.

I minimi triangoli in ordine di lato massimo crescente sono: (3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13), (10, 13, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (10, 10, 16).

 

Risolto il problema di trovarli tutti, si pose il problema di trovarne con le mediane razionali; trovare triangoli con una mediana razionale è relativamente facile (per esempio, basta prendere il triangolo rettangolo corrispondente a una terna pitagorica), quindi il problema era trovarne con due o tre mediane razionali.

Nel 1905 Schubert pubblicò una dimostrazione che un triangolo eroniano non può avere due mediane razionali, ma la dimostrazione si rivelò errata.

In seguito, infatti, Ralph H. Buchholz e Randall R. Rathbun trovarono vari triangoli con due mediane intere, riportati nella tabella seguente, nella quale a, b e c sono i lati, S è l’area e ma e mb sono rispettivamente le mediane relative ai lati a e b.

a

b

c

S

ma

mb

146

102

52

1680

35

97

1750

1252

562

221760

433

1144

8736

2482

7346

8168160

3314

7975

29582

28768

22514

302793120

21177

22002

57558

27632

30310

95726400

3589

43874

3647350

371258

3860912

569336866560

2048523

3751059

 

Buchholz e Rathbun dimostrarono nel 1997 che esistono infiniti triangoli eroniani con due mediane intere, trovando un’inaspettata relazione con due sequenze analoghe a Somos-5, ma con differenti valori iniziali, che come Somos-5 contengono solo numeri interi:

  • s0 =1, s1 = 1, s2 = 2, s3 = 3, s4 = 5, Formula per la definizione della ricorrenza per s(n),

  • t0 =1, t1 = –1, t2 = 1, t3 = 1, t4 = –7, Formula per la definizione della ricorrenza per t(n).

Definendo quindi Formula per la definizione di M(n), Formula per la definizione di P(n), Formula per la definizione di X(n), si possono ottenere i lati di un triangolo eroniano con due mediane razionali come Formula per il calcolo di a, Formula per il calcolo di b, c = 1. Moltiplicando poi per il doppio del minimo denominatore comune di a e b, si ottiene un triangolo con lati, area e due mediane intere.

 

Si ignora se esistano triangoli eroniani con tutte e tre le mediane razionali.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Gale, D.;  "Mathematical Entertainments: The Strange and Surprising Saga of the Somos Sequences" in Mathematical Intelligencer, n. 13, pag. 40 – 42, 1991.

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