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Somme dei reciproci di Erdös (costante delle)

Sequenze 

Consideriamo una sequenza di interi positivi crescenti an a partire da 1 e chiamiamola “sequenza-A” se nessun numero può essere espresso come somma di numeri precedenti distinti; Erdös dimostrò nel 1962 che la somma dei reciproci degli interi di una tale sequenza Somma dei reciproci dei numeri della sequenza è minore di 103.

Il risultato non sembra sorprendente: la sequenza più semplice di questo genere è la sequenza delle potenze di 2 e Somma dei reciproci delle potenze di 2. Sembra che scegliendo numeri più distanziati tra loro la somma debba per forza diminuire, ma non è vero: un semplice esempio è la sequenza 1, 2, 4, 8, 17, 33, 49, 98, 196..., nella quale i termini successivi a 49 sono prodotti tra 49 e potenze di 2: la somma dei reciproci vale circa 2.0049428862; il temine precedente 33, inferiore a 64, compensa abbondantemente l’aumento più rapido dei termini successivi.

Si chiama “costante delle somme dei reciproci di Erdös” il limite superiore della somma dei reciproci di una sequenza-A.

 

E. Levine e J. O’Sullivan dimostrarono nel 1977 che gli elementi di una sequenza-A soddisfano la disuguaglianza (n + 1)an + am ≥ (n + 1)m per qualsiasi valore di n e m e che quindi la somma dei reciproci è inferiore a 3.9998, mentre H.L. Abbott (1987) e Zhang (1991) costruirono esempi di sequenze per le quali la somma supera 2.0649.

 

E. Levine e J. O’Sullivan proposero nel 1977 la sequenza: a1 = 1, Formula per la ricorrenza di Levine e O’Sullivan, vale a dire 1, 2, 4, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 40, 45, 50, 55, 60, 65…, suggerendo che la somma dei reciproci sia circa 3.01 e sia la massima possibile per sequenze che rispettano la disuguaglianza. Un calcolo più accurato, basato sui primi 50000 termini della sequenza dà un valore superiore a 3.0254, il miglior limite inferiore noto.

Qui trovate i termini della sequenza di Levine e O’Sullivan fino a 106 (Simon Plouffe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Levine e O’Sullivan dimostrarono anche che nessuna sequenza può avere somma dei reciproci maggiore di una che inizia con 1, 2 e 4; nel 2011 YongGao Chen dimostrò che i primi 16 termini devono essere 1, 2, 4, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 40, 45 e 50 e che quindi la somma dei reciproci è almeno 5963 / 2400; il matematico cinese dimostrò anche che la costante non supera 3.0752, il miglior limite superiore noto.

 

Nel 2013 JianDong Wu dimostrò che se il primo termine della sequenza è almeno 2, la somma non supera 2.526.

 

Sequenze analoghe, dette “sequenze-B2” o “sequenze di Sidon” possono essere definite con la condizione che tutte le somme di due termini siano distinte.

Un esempio è dato dalla sequenza di Mian – Chowla (A.M. Mian e S.D. Chowla, 1944) ottenuta iniziando con 1 e aggiungendo ogni volta il minimo intero che rispetti la condizione; si ottiene così la sequenza: 1, 2, 4, 8, 13, 21, 31, 45, 66, 81, 97, 123, 148, 182, 204… ; (si noti che 21 = 13 + 8: un termine può essere la somma di altri due, purché la stessa somma non sia ottenibile in altro modo).

Per queste sequenze Zhengxian Zhang dimostrò nel 1994 che il limite superiore della somma dei reciproci supera 2.1597, sostituendo 208 con 229 nella sequenza di Mian – Chowla e proseguendo poi con lo stesso algoritmo per i termini successivi.

Levine dimostrò che il limite superiore non supera Limite superiore per la somma dei reciproci.

Qui trovate i termini della sequenza di Mian – Chowla fino a 109 (T.D. Noe, Simon Plouffe, N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Un terzo tipo di sequenza crescente è quello costituito da interi positivi crescenti, tali che non ve ne siano tre in progressione aritmetica. L’esempio più semplice è costituito dalla sequenza 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, 28, 29, 31, 32, 37, 38, 40, 41, 82, 83, 85, 86, 91, 92, 94, 95… , formata dai numeri rappresentabili con sole cifre 0 e 1 in base 3, incrementati di 1.

La somma per questa sequenza è compresa tra 3.00793 e 3.00794, ma J. Wróblewski riuscì nel 1984 a costruire una sequenza con la stessa proprietà e somma maggiore di 3.00849. Per queste sequenze non è neppure stato dimostrato che esista un limite superiore alla somma.

Qui trovate i primi 1000 termini della sequenza.

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