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Superpseudoprimi

Teoria dei numeri 

Si chiamano “superpseudoprimi in base b” gli pseudoprimi tali che ogni loro divisore maggiore di 1 sia primo o pseudoprimo in base b.

 

Dato che kn + 1 ≡ 1 mod n, per ogni divisore d di n vale kn + 1 = md + 1 ≡ 1 mod d e quindi (kn + 1)d – 1 ≡ 1 mod d, pertanto ogni numero composto n è superpseudoprimo in base kn + 1 per ogni intero positivo k e in particolare in base n + 1.

Dato che kn – 1 ≡ –1 mod n, per ogni divisore d di n vale kn – 1 = md – 1 ≡ 1 mod d e, se n è dispari e quindi ha solo divisori dispari, (kn – 1)d – 1 ≡ 1 mod d, pertanto ogni numero composto dispari n è superpseudoprimo in base kn – 1 per ogni intero positivo k e in particolare in base n – 1.

 

 

I superpseudoprimi con due soli fattori primi non sono particolarmente interessanti, dato che sono semplicemente gli pseudoprimi con due fattori primi. Più interessanti quelli con 3 fattori primi: K. Szymiczek dimostrò nel 1965 che in base 2 sono infiniti; J. Fehéer e P. Kiss dimostrarono nel 1983 che sono infiniti se la base non è multiplo di 4. Finalmente nel 1987 B.M. Phong dimostrò che sono infiniti in qualsiasi base maggiore di 1.

 

Lawrence Somer dimostrò nel 2004 che in ogni base maggiore di 1 esistono infiniti superpseudoprimi con esattamente quattro fattori primi, i prodotti dei quali sono anche pseudoprimi forti nella stessa base.

La dimostrazione è costruttiva; scomponendo b come b = m2n, con n primo rispetto a m, dispari e non multiplo di quadrati, per prima cosa si dimostra che per b dispari esistono infiniti primi p > 7, tali che p ≡ 2n + 1 mod 4n e ordp(b) < (p – 1) / 2, dopodichè:

  • se b ≡ 1 mod 4, esistono almeno due fattori primi primitivi dispari q e r di b^((p – 1) / 2) – 1, tali che q ≡ r ≡ 1 mod ((p – 1) / 2), e almeno un fattore primo primitivo dispari s di bp – 1 – 1, tale che s ≡ 1 mod p – 1 e pqrs è superpseudoprimo in base b;

  • se b ≡ 3 mod 4, esiste almeno un fattore primo primitivo dispari q di b^((p – 1) / 2) – 1, tale che q ≡ r ≡ 1 mod ((p – 1) / 2), e almeno due fattori primi primitivi dispari r e s di bp – 1 – 1, tali che rs ≡ 1 mod p – 1 e pqrs è superpseudoprimo in base b.

Si dice “fattore primo primitivo” di an – 1 un primo che divide an – 1, ma non am – 1, per m < n.

 

Somer dimostrò nel 2004 che se a = bk, con b > 1, e p è un primo maggiore di 3 che non divide k, per ogni divisore d di k esiste un primo che è un fattore primo primitivo di bdp e di ap – 1 e che il prodotto di tali primi (uno per ogni divisore di k) è un superpseudoprimo in base a.

 

Somer dimostrò nel 2004 che se p1, p2, …, pn sono primi dispari distinti, b è un intero maggiore di 1 e non divisibile per nessuno di essi e ogni primo pk è fattore primo primitivo di un numero della forma atk – 1, con molteplicità mk, (ossia pmk è la massima potenza di p che lo divida), ogni prodotto di questi primi, con ciascun pk elevato a un esponente non superiore a mk, è superpseudoprimo in base b se e solo se ciascuno dei primi è della forma rh + 1, dove h è il minimo comune multiplo degli esponenti t1, t2, …, tn.

 

Indicando con p^(k)(n) l’n-esimo superpseudoprimo con esattamente k fattori primi, B.M. Phong dimostrò che Somma dei reciproci dei logaritmi dei superpseudoprimi con 3 fattori primi diverge e Somer dimostrò che Somma dei reciproci dei logaritmi dei superpseudoprimi con 4 fattori primi diverge.

 

B.M. Phong e I. Joo dimostrarono nel 1985 che il numero di superpseudoprimi con esattamente 3 fattori primi in base k minori di x, con k della forma m2n, con n primo rispetto a m, dispari e non multiplo di quadrati, è almeno Limite inferiore per il numero di superpseudoprimi, per x abbastanza grande.

 

Somer dimostrò nel 2004 che che il numero di numeri naturali che sono contemporaneamente pseudoprimi di Eulero (I), pseudoprimi forti e superpseudoprimi minori di x in base b è almeno Limite inferiore per il numero di superpseudoprimi, per x > b15b + 1.

 

I numeri composti pluriunitari in base b di p cifre con p primo sono superpseudoprimi nella stessa base se e solo se p non divide b – 1.

Per esempio, 111 non è superpseudoprimo in base 10, perché 3 divide 9, mentre 11111 è superpseudoprimo in base 10, perché 5 non divide 9.

 

La tabella seguente mostra i superpseudoprimi minori di 105 nelle basi fino a 20.

Base

Superpseudoprimi

2

341, 1387, 2047, 2701, 3277, 4033, 4369, 4681, 5461, 7957, 8321, 10261, 13747, 14491, 15709, 18721, 19951, 23377, 31417, 31609, 31621, 35333, 42799, 49141, 49981, 60701, 60787, 65077, 65281, 80581, 83333, 85489, 88357, 90751

3

91, 121, 671, 703, 949, 1541, 1891, 2701, 3281, 7381, 8401, 12403, 14383, 15203, 16531, 18721, 23521, 24727, 28009, 30857, 31621, 31697, 38503, 44287, 46999, 47197, 49051, 49141, 55261, 55969, 63139, 72041, 74593, 79003, 82513, 83333, 88573, 88831, 90751, 96139, 97567

4

15, 85, 91, 341, 451, 703, 1247, 1271, 1387, 1891, 2047, 2071, 2701, 3133, 3277, 3683, 4033, 4369, 4681, 4859, 5461, 7957, 8321, 9131, 9211, 10261, 12403, 13019, 13747, 13981, 14351, 14491, 14701, 15709, 16021, 18721, 19951, 20191, 23377, 24727, 25351, 26599, 31417, 31609, 31621, 33227, 35333, 38503, 40501, 40951, 42121, 42127, 42799, 46513, 47197, 47611, 48599, 49141, 49981, 50737, 51319, 60701, 60787, 61447, 65077, 65281, 68251, 74563, 76627, 77879, 79003, 80581, 83333, 85489, 88357, 88831, 90751, 98671

5

4, 217, 781, 1541, 1891, 5461, 5611, 5731, 7813, 9881, 11041, 13021, 13333, 14981, 15751, 16297, 17767, 21361, 25351, 29539, 30673, 36661, 36991, 38081, 40501, 42127, 44173, 44801, 48133, 50737, 53083, 53971, 56033, 68251, 79381, 88831, 98173

6

35, 185, 217, 301, 481, 1111, 1261, 1333, 2701, 3421, 3589, 5713, 6533, 9331, 9881, 11041, 12209, 14701, 16589, 18721, 20017, 22049, 24341, 31021, 31411, 31621, 36301, 37231, 38081, 39493, 42121, 42127, 43621, 44801, 46657, 46873, 48133, 49141, 49661, 49771, 56033, 58969, 73261, 74023, 74563, 82937, 83333, 90751, 94657, 94681, 94697, 97751, 97921

7

6, 25, 703, 817, 2101, 2353, 3277, 6697, 8321, 11041, 11521, 14089, 18721, 20197, 20417, 25829, 26419, 29857, 29891, 30811, 33227, 38081, 38503, 39331, 49241, 50737, 64681, 75241, 76049, 78937, 79381, 87673, 88399, 88831, 97921

8

9, 21, 63, 65, 133, 341, 481, 511, 949, 1387, 1417, 1541, 1649, 1661, 2047, 2501, 2701, 3277, 3641, 4033, 4097, 4369, 4681, 5461, 5963, 6533, 7957, 8321, 9709, 9773, 9881, 10261, 11041, 11441, 13333, 13747, 14491, 14981, 15709, 16589, 17593, 18721, 19561, 19951, 23377, 24929, 31417, 31609, 31621, 35113, 35333, 37901, 38081, 41441, 42001, 42799, 45761, 48133, 49141, 49601, 49981, 51491, 52429, 54161, 55969, 56033, 59291, 60701, 60787, 61337, 61937, 65077, 65281, 66197, 74023, 76049, 79381, 80581, 81317, 83333, 85489, 88357, 90751, 94657, 95281, 97921

9

4, 8, 91, 121, 205, 511, 671, 697, 703, 949, 1387, 1541, 1891, 2501, 2701, 3281, 6643, 7081, 7381, 7913, 8401, 12403, 12991, 14089, 14383, 14701, 15203, 15251, 15863, 16531, 18721, 23521, 24727, 28009, 30857, 31621, 31697, 38503, 42121, 42127, 44287, 46999, 47197, 48421, 49051, 49141, 51319, 55261, 55969, 56137, 58829, 63139, 72041, 74563, 74593, 79003, 82513, 83333, 84253, 88573, 88831, 90751, 96139, 96727, 97567

10

9, 33, 91, 99, 259, 451, 481, 703, 2981, 3367, 4141, 4187, 5461, 6533, 6541, 7471, 8149, 8401, 10001, 11111, 12403, 14701, 27613, 38503, 45527, 50851, 54913, 57181, 63139, 65311, 66991, 67861, 79003, 82513, 83119, 94139

11

10, 15, 133, 259, 305, 481, 703, 793, 2047, 2257, 4577, 4921, 5041, 12403, 13333, 14521, 14981, 17711, 23377, 24727, 29341, 30857, 31417, 38081, 38963, 41329, 43213, 43739, 44287, 47611, 48283, 49141, 49601, 50737, 55969, 56033, 56057, 57929, 58969, 68137, 74089, 79003, 85879, 86347, 88831, 96049, 97351

12

65, 91, 133, 143, 145, 247, 377, 703, 1099, 1649, 1729, 1885, 1891, 2041, 2701, 2983, 9073, 12403, 13051, 13333, 14287, 14981, 18721, 19517, 20491, 20737, 20881, 21361, 24727, 25681, 29539, 31483, 31621, 34219, 34861, 35881, 38503, 38779, 38963, 40321, 47197, 49141, 53083, 61309, 66637, 67861, 76049, 79003, 79381, 79501, 83333, 88831, 90751, 97351

13

4, 6, 12, 21, 85, 427, 1099, 1891, 5149, 9577, 9637, 12403, 13019, 14491, 14981, 17803, 19757, 19909, 22177, 23521, 24641, 25681, 26281, 26521, 34669, 36661, 38503, 44173, 45629, 49051, 49141, 54097, 56033, 57553, 60701, 64907, 67039, 68401, 70801, 75241, 83333, 86347

14

15, 39, 65, 195, 481, 781, 793, 841, 985, 1111, 1541, 1891, 2257, 2561, 2743, 3277, 5713, 6533, 6541, 7171, 7543, 8321, 9073, 12403, 12805, 12871, 13429, 14111, 14689, 18721, 19909, 21667, 22261, 23521, 25141, 29341, 38221, 38417, 40501, 41371, 45449, 48133, 49471, 56033, 63013, 64079, 68401, 71969, 78881, 79003, 88381, 91681, 92621, 95033, 96049, 97469, 97693

15

14, 341, 1477, 1541, 1687, 1891, 1921, 3133, 3277, 4187, 6541, 7471, 9073, 10279, 10649, 12871, 14041, 14701, 15409, 16841, 20017, 25313, 31021, 38963, 47461, 49241, 50401, 50851, 53659, 54241, 54913, 57553, 58969, 60691, 88357, 88399, 88831, 93391, 97921, 98671

16

15, 51, 85, 91, 255, 341, 451, 703, 1247, 1261, 1271, 1285, 1387, 1687, 1891, 2047, 2071, 2701, 3133, 3277, 3683, 4033, 4369, 4681, 4859, 5461, 7471, 7957, 8119, 8227, 8321, 8749, 9131, 9211, 10261, 10897, 12403, 13019, 13747, 13981, 14351, 14491, 14701, 15709, 16021, 18721, 19951, 20191, 21349, 21845, 21931, 23377, 24727, 25351, 26599, 31417, 31609, 31621, 33227, 35333, 36391, 38503, 40501, 40951, 42121, 42127, 42799, 46513, 47197, 47611, 48599, 49141, 49981, 50737, 51319, 60701, 60787, 61447, 62893, 65077, 65281, 68251, 74563, 74593, 76627, 77879, 79003, 79771, 80581, 83333, 84169, 85489, 88357, 88831, 90751, 98671

17

4, 8, 9, 16, 91, 145, 781, 1111, 2149, 3991, 4033, 4187, 5833, 6697, 7171, 12403, 13333, 19729, 20591, 21781, 27037, 27937, 31417, 31621, 33001, 33227, 38081, 42127, 47197, 49771, 66397, 70579, 77293, 78881, 88831, 96433, 97921, 98671

18

25, 49, 65, 85, 133, 221, 323, 325, 343, 425, 451, 931, 1105, 1369, 1387, 1649, 1921, 2149, 2701, 2977, 4577, 5525, 5833, 5941, 6517, 10349, 10961, 13021, 13333, 14981, 15043, 15793, 18631, 18721, 18829, 22411, 27613, 28153, 29821, 31621, 36121, 36661, 39817, 40501, 40831, 41159, 49141, 50737, 60691, 68251, 72343, 76049, 79381, 80137, 83333, 90113, 90751, 99451, 99937

19

6, 9, 15, 18, 45, 49, 169, 343, 889, 905, 1661, 1849, 1891, 2353, 2701, 4033, 4681, 5461, 5713, 6223, 6541, 6697, 7957, 8401, 9211, 9997, 10021, 11041, 12403, 12871, 13019, 13213, 13747, 15251, 16531, 16589, 18769, 19729, 20329, 24727, 24761, 25273, 30589, 31621, 31861, 32477, 38503, 40921, 41003, 43561, 49141, 49771, 55969, 56033, 57181, 57553, 63139, 64681, 65161, 66421, 69781, 74593, 78469, 79003, 79381, 88357, 96049

20

21, 57, 133, 399, 671, 889, 1891, 2059, 2413, 2501, 2761, 2947, 5461, 5473, 5713, 5833, 6817, 7999, 13051, 15251, 15311, 16441, 16891, 18103, 21667, 23983, 24461, 25351, 25681, 32477, 34861, 37901, 38989, 40501, 42127, 44287, 49771, 50737, 53467, 54811, 55993, 57553, 58717, 61337, 64681, 64907, 68251, 78961, 88831, 92509, 93031, 96049, 97921

 

La tabella seguente mostra per i numeri composti minori di 20 le basi minori di 1000 nelle quali sono superpseudoprimi.

Numero

Basi

4

5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97, 101, 105, 109, 113, 117, 121, 125, 129, 133, 137, 141, 145, 149, 153, 157, 161, 165, 169, 173, 177, 181, 185, 189, 193, 197, 201, 205, 209, 213, 217, 221, 225, 229, 233, 237, 241, 245, 249, 253, 257, 261, 265, 269, 273, 277, 281, 285, 289, 293, 297, 301, 305, 309, 313, 317, 321, 325, 329, 333, 337, 341, 345, 349, 353, 357, 361, 365, 369, 373, 377, 381, 385, 389, 393, 397, 401, 405, 409, 413, 417, 421, 425, 429, 433, 437, 441, 445, 449, 453, 457, 461, 465, 469, 473, 477, 481, 485, 489, 493, 497, 501, 505, 509, 513, 517, 521, 525, 529, 533, 537, 541, 545, 549, 553, 557, 561, 565, 569, 573, 577, 581, 585, 589, 593, 597, 601, 605, 609, 613, 617, 621, 625, 629, 633, 637, 641, 645, 649, 653, 657, 661, 665, 669, 673, 677, 681, 685, 689, 693, 697, 701, 705, 709, 713, 717, 721, 725, 729, 733, 737, 741, 745, 749, 753, 757, 761, 765, 769, 773, 777, 781, 785, 789, 793, 797, 801, 805, 809, 813, 817, 821, 825, 829, 833, 837, 841, 845, 849, 853, 857, 861, 865, 869, 873, 877, 881, 885, 889, 893, 897, 901, 905, 909, 913, 917, 921, 925, 929, 933, 937, 941, 945, 949, 953, 957, 961, 965, 969, 973, 977, 981, 985, 989, 993, 997

6

7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97, 103, 109, 115, 121, 127, 133, 139, 145, 151, 157, 163, 169, 175, 181, 187, 193, 199, 205, 211, 217, 223, 229, 235, 241, 247, 253, 259, 265, 271, 277, 283, 289, 295, 301, 307, 313, 319, 325, 331, 337, 343, 349, 355, 361, 367, 373, 379, 385, 391, 397, 403, 409, 415, 421, 427, 433, 439, 445, 451, 457, 463, 469, 475, 481, 487, 493, 499, 505, 511, 517, 523, 529, 535, 541, 547, 553, 559, 565, 571, 577, 583, 589, 595, 601, 607, 613, 619, 625, 631, 637, 643, 649, 655, 661, 667, 673, 679, 685, 691, 697, 703, 709, 715, 721, 727, 733, 739, 745, 751, 757, 763, 769, 775, 781, 787, 793, 799, 805, 811, 817, 823, 829, 835, 841, 847, 853, 859, 865, 871, 877, 883, 889, 895, 901, 907, 913, 919, 925, 931, 937, 943, 949, 955, 961, 967, 973, 979, 985, 991, 997

8

9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73, 81, 89, 97, 105, 113, 121, 129, 137, 145, 153, 161, 169, 177, 185, 193, 201, 209, 217, 225, 233, 241, 249, 257, 265, 273, 281, 289, 297, 305, 313, 321, 329, 337, 345, 353, 361, 369, 377, 385, 393, 401, 409, 417, 425, 433, 441, 449, 457, 465, 473, 481, 489, 497, 505, 513, 521, 529, 537, 545, 553, 561, 569, 577, 585, 593, 601, 609, 617, 625, 633, 641, 649, 657, 665, 673, 681, 689, 697, 705, 713, 721, 729, 737, 745, 753, 761, 769, 777, 785, 793, 801, 809, 817, 825, 833, 841, 849, 857, 865, 873, 881, 889, 897, 905, 913, 921, 929, 937, 945, 953, 961, 969, 977, 985, 993

9

8, 10, 17, 19, 26, 28, 35, 37, 44, 46, 53, 55, 62, 64, 71, 73, 80, 82, 89, 91, 98, 100, 107, 109, 116, 118, 125, 127, 134, 136, 143, 145, 152, 154, 161, 163, 170, 172, 179, 181, 188, 190, 197, 199, 206, 208, 215, 217, 224, 226, 233, 235, 242, 244, 251, 253, 260, 262, 269, 271, 278, 280, 287, 289, 296, 298, 305, 307, 314, 316, 323, 325, 332, 334, 341, 343, 350, 352, 359, 361, 368, 370, 377, 379, 386, 388, 395, 397, 404, 406, 413, 415, 422, 424, 431, 433, 440, 442, 449, 451, 458, 460, 467, 469, 476, 478, 485, 487, 494, 496, 503, 505, 512, 514, 521, 523, 530, 532, 539, 541, 548, 550, 557, 559, 566, 568, 575, 577, 584, 586, 593, 595, 602, 604, 611, 613, 620, 622, 629, 631, 638, 640, 647, 649, 656, 658, 665, 667, 674, 676, 683, 685, 692, 694, 701, 703, 710, 712, 719, 721, 728, 730, 737, 739, 746, 748, 755, 757, 764, 766, 773, 775, 782, 784, 791, 793, 800, 802, 809, 811, 818, 820, 827, 829, 836, 838, 845, 847, 854, 856, 863, 865, 872, 874, 881, 883, 890, 892, 899, 901, 908, 910, 917, 919, 926, 928, 935, 937, 944, 946, 953, 955, 962, 964, 971, 973, 980, 982, 989, 991, 998, 1000

10

11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 201, 211, 221, 231, 241, 251, 261, 271, 281, 291, 301, 311, 321, 331, 341, 351, 361, 371, 381, 391, 401, 411, 421, 431, 441, 451, 461, 471, 481, 491, 501, 511, 521, 531, 541, 551, 561, 571, 581, 591, 601, 611, 621, 631, 641, 651, 661, 671, 681, 691, 701, 711, 721, 731, 741, 751, 761, 771, 781, 791, 801, 811, 821, 831, 841, 851, 861, 871, 881, 891, 901, 911, 921, 931, 941, 951, 961, 971, 981, 991

12

13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97, 109, 121, 133, 145, 157, 169, 181, 193, 205, 217, 229, 241, 253, 265, 277, 289, 301, 313, 325, 337, 349, 361, 373, 385, 397, 409, 421, 433, 445, 457, 469, 481, 493, 505, 517, 529, 541, 553, 565, 577, 589, 601, 613, 625, 637, 649, 661, 673, 685, 697, 709, 721, 733, 745, 757, 769, 781, 793, 805, 817, 829, 841, 853, 865, 877, 889, 901, 913, 925, 937, 949, 961, 973, 985, 997

14

15, 29, 43, 57, 71, 85, 99, 113, 127, 141, 155, 169, 183, 197, 211, 225, 239, 253, 267, 281, 295, 309, 323, 337, 351, 365, 379, 393, 407, 421, 435, 449, 463, 477, 491, 505, 519, 533, 547, 561, 575, 589, 603, 617, 631, 645, 659, 673, 687, 701, 715, 729, 743, 757, 771, 785, 799, 813, 827, 841, 855, 869, 883, 897, 911, 925, 939, 953, 967, 981, 995

15

4, 11, 14, 16, 19, 26, 29, 31, 34, 41, 44, 46, 49, 56, 59, 61, 64, 71, 74, 76, 79, 86, 89, 91, 94, 101, 104, 106, 109, 116, 119, 121, 124, 131, 134, 136, 139, 146, 149, 151, 154, 161, 164, 166, 169, 176, 179, 181, 184, 191, 194, 196, 199, 206, 209, 211, 214, 221, 224, 226, 229, 236, 239, 241, 244, 251, 254, 256, 259, 266, 269, 271, 274, 281, 284, 286, 289, 296, 299, 301, 304, 311, 314, 316, 319, 326, 329, 331, 334, 341, 344, 346, 349, 356, 359, 361, 364, 371, 374, 376, 379, 386, 389, 391, 394, 401, 404, 406, 409, 416, 419, 421, 424, 431, 434, 436, 439, 446, 449, 451, 454, 461, 464, 466, 469, 476, 479, 481, 484, 491, 494, 496, 499, 506, 509, 511, 514, 521, 524, 526, 529, 536, 539, 541, 544, 551, 554, 556, 559, 566, 569, 571, 574, 581, 584, 586, 589, 596, 599, 601, 604, 611, 614, 616, 619, 626, 629, 631, 634, 641, 644, 646, 649, 656, 659, 661, 664, 671, 674, 676, 679, 686, 689, 691, 694, 701, 704, 706, 709, 716, 719, 721, 724, 731, 734, 736, 739, 746, 749, 751, 754, 761, 764, 766, 769, 776, 779, 781, 784, 791, 794, 796, 799, 806, 809, 811, 814, 821, 824, 826, 829, 836, 839, 841, 844, 851, 854, 856, 859, 866, 869, 871, 874, 881, 884, 886, 889, 896, 899, 901, 904, 911, 914, 916, 919, 926, 929, 931, 934, 941, 944, 946, 949, 956, 959, 961, 964, 971, 974, 976, 979, 986, 989, 991, 994

16

17, 33, 49, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 257, 273, 289, 305, 321, 337, 353, 369, 385, 401, 417, 433, 449, 465, 481, 497, 513, 529, 545, 561, 577, 593, 609, 625, 641, 657, 673, 689, 705, 721, 737, 753, 769, 785, 801, 817, 833, 849, 865, 881, 897, 913, 929, 945, 961, 977, 993

18

19, 37, 55, 73, 91, 109, 127, 145, 163, 181, 199, 217, 235, 253, 271, 289, 307, 325, 343, 361, 379, 397, 415, 433, 451, 469, 487, 505, 523, 541, 559, 577, 595, 613, 631, 649, 667, 685, 703, 721, 739, 757, 775, 793, 811, 829, 847, 865, 883, 901, 919, 937, 955, 973, 991

20

21, 41, 61, 81, 101, 121, 141, 161, 181, 201, 221, 241, 261, 281, 301, 321, 341, 361, 381, 401, 421, 441, 461, 481, 501, 521, 541, 561, 581, 601, 621, 641, 661, 681, 701, 721, 741, 761, 781, 801, 821, 841, 861, 881, 901, 921, 941, 961, 981

 

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