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Primi di Wieferich generalizzati

Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi di Wieferich generalizzati” o “primi di Wieferich in base b” i numeri primi p per i quali bp – 1 ≡ 1 mod p2, cioè quelli per i quali il quoziente di Fermat in base b è multiplo di p.

 

Se b = 2 abbiamo i primi di Wieferich, se b = 3 abbiamo i primi di Mirimanoff.

 

Se p2 divide b, p non è un primo di Wieferich generalizzato in base b.

 

In tutte le basi della forma 4k + 1 2 è banalmente un primo di Wieferich generalizzato.

 

Gli esperti suppongono che esistano infiniti primi del genere in ogni base, ma in ogni base i primi di Wieferich generalizzati sono molto rari.

J.H. Silvermann dimostrò nel 1988 che dalla cosiddetta congettura “abc” segue che in qualsiasi base esistono almeno clogn primi non di Wieferich generalizzati minori di n, per una costante c.

 

Negli anni furono pubblicate varie tabelle di primi di Wieferich generalizzati, con limiti superiori per b e p sempre maggiori, grazie soprattutto all’aumento della potenza di calcolo a disposizione; la tabella seguente riporta le tappe principali.

Limite superiore per b

Limite superiore per p

Autori

Anno

100

106

J. Brillhart, J. Tonascia, e P. Weinberger

1971

100

2 • 108

Wilfrid Keller

1988

1000 (solo primi)

104

M. Aaltonen and K. Inkeri

1991

100

232

P.L. Montgomery

1993

1000

1010

Wilfrid Keller e Jörg Richstein

2004

1000 (solo primi)

1011

Wilfrid Keller e Jörg Richstein

2004

 

 

La tabella seguente mostra i primi di Wieferich generalizzati noti, per b fino a 20 (Alexander Adamchuk, Max Alekseyev, F.G. Dorais, Felix Fröhlich, Walter Kehowski, D. Klyve, Helmut Richter, N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

b

Primi di Wieferich generalizzati

2

1093, 3511

3

11, 1006003

4

1093, 3511

5

2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801

6

66161, 534851, 3152573

7

5, 491531

8

3, 1093, 3511

9

2, 11, 1006003

10

3, 487, 56598313

11

71

12

2693, 123653

13

2, 863, 1747591

14

29, 353, 7596952219

15

29131, 119327070011

16

1093, 3511

17

2, 3, 46021, 48947, 478225523351

18

5, 7, 37, 331, 33923, 1284043

19

3, 7, 13, 43, 137, 63061489

20

281, 46457, 9377747, 122959073

 

Non si conoscono primi di Wieferich generalizzati in molte basi, le prime delle quali sono: 47, 72, 186, 187, 200, 203, 222, 231, 304, 311, 335, 347, 355, 435, 454, 542, 546, 554, 610, 639, 662, 760, 772, 798, 808, 812, 858, 860, 871, 983, 986, 1002, 1023, 1130, 1136, 1138.

 

La tabella seguente mostra i minimi primi di Wieferich generalizzati p che siano primi in n basi minori di p (Felix Fröhlich, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Minimo primo

Basi

2

11

3, 9

3

269

171, 180, 207

4

487

10, 100, 175, 307

5

653

84, 120, 197, 287, 410

10

1093

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

11

3511

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048,

12

1006003

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441

 

Nel 1905 M. Lerch dimostrò un interessante legame tra Formula per la definizione del quoziente di Fermat, detto “quoziente di Fermat”, e i numeri di BernoulliSomma che coinvolge i quozienti di Fermat per ogni intero n minore di p; in particolare Somma che coinvolge i quozienti di Fermat.

 

W.F. Meyer, dimostrò nel 1902 che per qualsiasi potenza pr di un primo esistono infiniti valori di b, tra i quali infiniti primi, tali che bp – 1 – 1 sia divisibile per pr, ma non per potenze superiori di p. In particolare, tra i primi pr – 1(p – 1) interi maggiori di zero, minori di pr e non multipli di p ve ne sono prs –1(p – 1)2 divisibili per ps, ma non per potenze superiori di p per 0 < s < r, e p – 1 divisibili per pr.

 

Se n è una radice primitiva di un primo par = npr – 1 per r > 1, a partire dai numeri a(r)^m mod p^r per m da 0 a p – 2 vi sono progressioni aritmetiche con differenza pr di basi b, tali che bp – 1 ≡ 1 mod pr (Worms de Romilly, 1901); questo permette di trovare facilmente le basi rispetto alle quali un primo è un primo Wieferich generalizzato.

 

Se q1 è il minimo primo della forma 2kpr + 1 e q2 è il minimo primo della forma 2kpr – 1, b = min(q1, q2) è tale che bp – 1 ≡ 1 mod pr e se p = 3, b è la soluzione minima (Wilfrid Keller e Jörg Richstein, 2004).

 

Fissato pr, però, la minima soluzione può essere molto grande; per esempio, nel caso di 3165896 la minima soluzione è un numero di 79153 cifre (Wilfrid Keller e Jörg Richstein, 2004).

 

Le tabelle seguenti mostrano il minimo valore primo di b tale che bp – 1 – 1 sia divisibile per pr, per r fino a 10 e p primo fino a 100 (Wilfrid Keller e Jörg Richstein, 2004).

p

r = 2

r = 3

r = 4

r = 5

r = 6

3

17

53

163

487

1459

5

7

193

443

14557

14557

7

19

19

3449

32261

152617

11

3

2663

45989

275393

2120879

13

19

239

239

220861

7654109

17

131

653

15541

15541

24527681

19

127

2819

2819

2342959

2342959

23

263

8401

60793

1051847

90603883

29

41

10133

78017

24639193

 

31

229

6287

690143

40373093

 

37

691

691

398023

70697317

 

41

313

10399

1977343

31851901

 

43

19

3623

574081

47289133

 

47

53

6397

1513367

456330179

 

53

521

9283

4388179

10000453

 

59

53

63463

3198427

154075723

 

61

601

38447

8065789

130702609

 

67

1301

36809

3246107

304154189

 

71

11

21499

1353383

143584109

 

73

619

75227

5934307

183298237

 

79

31

1523

15631613

79451167

 

83

269

55933

2864371

1058782027

 

89

3187

42937

14754769

352845203

 

97

53

341293

15012733

567620413

 

p

r = 7

r = 8

r = 9

r = 10

3

4373

13121

39367

472391

5

735443

3124999

7812499

78124999

7

3294173

3376853

135967277

135967277

11

28723679

174625993

 

 

 

La tabella seguente mostra il minimo valore di a tale che a2 – 1 sia divisibile per 3r, per alcuni valori di r (Wilfrid Keller e Jörg Richstein, 2004).

r

Minimo valore di a

2

2 • 32 – 1

3

2 • 33 – 1

4

2 • 34 + 1

5

2 • 35 + 1

6

2 • 36 + 1

7

2 • 37 – 1

8

2 • 38 – 1

9

2 • 39 + 1

10

8 • 310 – 1

20

2 • 320 – 1

30

2 • 330 + 1

40

40 • 340 – 1

50

8 • 350 – 1

60

2 • 360 + 1

70

10 • 370 – 1

80

14 • 380 – 1

90

44 • 390 + 1

100

90 • 3100 – 1

200

12 • 3200 + 1

300

158 • 3300 + 1

400

112 • 3400 + 1

500

782 • 3500 + 1

600

1204 • 3600 – 1

700

22 • 3700 + 1

800

10 • 3800 + 1

900

122 • 3900 + 1

1000

52 • 31000 + 1

 

Sono state cercate anche coppie di primi p e q tali che qp – 1 ≡ 1 mod p2 e pq – 1 ≡ 1 mod q2, dette “coppie di Wieferich”, soprattutto per la loro importanza nella congettura di Catalan. Al momento si conoscono solo 7 coppie del genere, che includono tutte quelle con a < 106 e p < max(a2, 1011) (Wilfrid Keller e Jörg Richstein, 2004): (2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) e (2903, 18787).

 

Se b e b + 1 non sono multipli di un primo p, il piccolo teorema di Fermat ci assicura che che (b + 1)p – 1bq – 1 ≡ 0 mod p; è ragionevole chiedersi se la congruenza valga per potenze superiori di p. La tabella seguente riporta i primi p minori di 1011 tali che (b + 1)p – 1bp – 1 ≡ 0 mod p2 per b fino a 20 (Richard Fischer, 2006).

b

p

1

1093, 3511

2

23, 3842760169, 41975417117

3

5, 250829

4

3, 67

5

3457, 893122907

6

72673, 1108905403, 2375385997

7

13, 819381943

8

67, 139, 499, 26325777341

9

67, 887, 9257, 83449, 111539, 31832131

10

-

11

107, 4637, 239357

12

5, 11, 51563, 363901, 224189011

13

3

14

11, 5749, 17733170113, 140328785783

15

292381

16

4157

17

751, 46070159

18

7, 142671309349

19

17, 269

20

29, 162703

 

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