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Cinque esponenziali (congettura dei)

Algebra  Congetture 

La congettura dei cinque esponenziali è una versione più forte del teorema dei cinque esponenziali (v. numeri trascendenti). Afferma che dati due insiemi di numeri (x1, x2) e (y1, y2), razionalmente indipendenti (ossia tali che uno dei due numeri dell’insieme non possa essere ottenuto moltiplicando l’altro per un numero razionale) e sei numeri algebrici α, β1, 1, β1, 2, β2, 1, β2, 2 e γ, se i 5 numeri ex1y1 – β1, 1, ex1y2 – β1, 2, ex2y1 – β2, 1, ex2y2 – β2, 2e^(γ * x1 / x2 – α) sono algebrici, allora x1y1 = β1, 1, x1y2 = β1, 2, x2y1 = β2, 1, x2y2 = β2, 2, γx1 = αx2, ossia i 5 esponenti sono nulli.

Nel caso particolare in cui y1, y2γ / x1 siano razionalmente indipendenti, la congettura si può dimostrare a partire dal teorema dei cinque esponenziali (v. numeri trascendenti), ma il caso generale non è stato dimostrato.

 

Dalla congettura seguirebbe che eπ2 è trascendente: prendendo x1 = iπ, x2 = y1 = γ = 1, y2 = –iπ, α = 0, β1, 1 = 1, β1, 2 = β2, 1 = β2, 2 = 0, infatti, i 5 numeri sono e = –1, eπ2, e0 = 1, e–iπ = –1, e = –1 e l’unico di questi che possa essere trascendente è eπ2. Analogamente, sostituendo a iπ il logaritmo non nullo λ di un numero algebrico, si dimostra che eλ2 è trascendente. Al momento è stato dimostrato che almeno uno tra eλ2 e eλ3 è trascendente.

 

Una versione ancora più forte, nota anche come “forma forte” della congettura, dalla quale seguirebbero le altre due, afferma che dati due insiemi di numeri (x1, x2) e (y1, y2, y3), razionalmente indipendenti, almeno uno dei numeri x1y1, x1y2, x2y1, x2y2x1 / x2 non è esprimibile come combinazione razionale di numeri algebrici e logaritmi di numeri algebrici, cioè come Combinazione razionale di numeri algebrici e logaritmi di numeri algebrici, con i vari αk e βk algebrici, anche complessi.

 

Le due forme della congettura sarebbero conseguenza delle corrispondenti forme della congettura dei quattro esponenziali.

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