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Tre esponenziali (congettura dei)

Algebra  Congetture 

La congettura detta “dei tre esponenziali” afferma che dati tre numeri complessi non nulli x1, x2 e y e un numero algebrico γ, almeno uno dei numeri ex1y, ex2ye^(γ * x1 / x2) è trascendente.

 

Una formulazione equivalente è che dati tre logaritmi di numeri algebrici λ1, λ2 e λ3, se λ1λ2 = γλ3 con γ algebrico, allora γλ3 = 0.

Per esempio, prendendo λ1, = iπ, λ1, = –iπ, γ = 1, (logaritmi di numeri algebrici, perché e = e–iπ = –1) abbiamo γλ3 = π2 e siccome questo numero non è zero, λ3 non è un logaritmo di un numero algebrico; dalla congettura seguirebbe quindi che eπ2 è trascendente.

 

Una versione più forte afferma che dati tre numeri complessi non nulli x1, x2 e y e quattro numeri algebrici α, β1, β2 e γ, tali che ex1y – β1, ex2y – β2e^(γ * x1 / x2 – α) siano algebrici, allora x2y = β2 oppure γx1 = αx2 , vale a dire che almeno uno dei tre esponenti è nullo.

 

Una versione ancora più forte, nota anche come “forma forte” della congettura, dalla quale seguirebbero le altre due, afferma che dati tre numeri complessi non nulli x1, x2 e y, tali che x1y, x2y e x1 / x2 siano trascendenti, almeno uno di questi ultimi tre numeri non è esprimibile come combinazione razionale di numeri algebrici e logaritmi di numeri algebrici, cioè come Combinazione razionale di numeri algebrici e logaritmi di numeri algebrici, con i vari αk e βk algebrici, anche complessi.

 

Le prime due forme della congettura sarebbero conseguenza delle corrispondenti forme della congettura dei quattro esponenziali, mentre la forma forte non è conseguenza della forma forte della congettura dei quattro esponenziali, né la implica.

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