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ordk(n)

Funzioni 

La funzione ordk(n) si chiama “ordine di n rispetto a k” ed è definita per n e k interi positivi e primi tra loro come il minimo esponente a tale che na ≡ 1 mod k.

 

Alcune proprietà:

  • se m e n sono primi tra loro e ordk(m) = ordk(n), ordk(mn) = mcm(ordk(m), ordk(n));

  • se p e q sono primi distinti, ordpq(n) = mcm(ordp(n), ordq(n));

  • ord22m + 1(2) = 4m;

  • se p è un primo dispari, ordp3(2) = pordp2(2), a meno che p3 divida 2p – 1 – 1, ma non si conosce alcun primo con questa proprietà;

  • ordk(n) divide φ(k) ed è uguale a φ(k) se e solo se n è una radice primitiva modulo k;

  • ordk(n) divide λ(k) (III);

  • il numero di interi n tali che ordk(n) = m è φ(m);

  • ordk(n) è la lunghezza del periodo di 1 / k in base n; per esempio, ord13(10) = 6 e in base 10 la lunghezza del periodo di 1 / 13 è 6.

 

M.B. Nathanson dimostrò nel 2000 che se un primo p non divide n, ordpk(n) = ordp(n), se km, e ordpk(n) = pkmordp(n), se k > m, dove m è il massimo esponente di p che divide nordp(n) – 1.

 

Per mescolare un mazzo di carte si usa dividerle in due mazzetti, per poi incastrarli l’uno nell’altro; con (notevole) abilità è possibile un mescolamento “perfetto”, nel quale i due mazzetti contengono lo stesso numero di carte e nell’incastro si alterna una carta dell’uno con una dell’altro. Vi sono due tipi di mescolamento perfetto: quello esterno, nel quale la prima carta del mazzo originale resta la prima nel mazzo mescolato, e quello interno, nel quale la prima carta del mazzo originale diventa la seconda.

Per esempio, iniziando con un mazzo di 8 carte nell'ordine (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), i due mazzetti sono formati dalle carte (1, 2, 3, 4) e (5, 6, 7, 8) e il mescolamento esterno produce l’ordine (1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, 8), mentre quello interno produce l’ordine (5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4).

 

Il numero di mescolamenti perfetti esterni necessari per ripristinare l’ordine iniziale di un mazzo di n carte (con n pari) è ordn – 1(2). Nel caso di un mazzo di 52 carte, servono ord51(2) = 8 passaggi e alcuni abilissimi manipolatori di carte sono riusciti nell’impresa di eseguire 8 mescolamenti perfetti esterni consecutivi, ripristinando l’ordine iniziale delle carte del mazzo. Vi suggerisco di non giocare a carte contro di loro. Non è solo una battuta: J.H. Green in An Exposure of the Art and Miseries of Gambling (James, Cincinnati, 1843) spiegò come sia possibile barare in questo modo, preparando un mazzo con una distribuzione favorevole a un giocatore e poi mescolandolo in modo da riportare le carte nell’ordine iniziale. Per questo motivo in quasi tutti i giochi di carte dopo che un giocatore ha mescolato il mazzo, un altro lo “taglia” dividendolo in due mazzetti che vengono poi scambiati tra loro prima della distribuzione. L’effetto del taglio è di operare una permutazione ciclica (sperabilmente casuale) nel mazzo, quindi l’eventuale combinazione favorevole predisposta dal baro finisce in mano a un giocatore non prevedibile a priori. Il trucco del mescolamento perfetto viene comunque tuttora usato in giochi, come il Poker, nei quali la conoscenza della disposizione delle carte permette di contenere le perdite, se è l’avversario ad avere la mano migliore, e massimizzare le vincite in caso contrario.

 

Il numero di mescolamenti perfetti interni necessari per ripristinare l’ordine iniziale di un mazzo di n carte (con n pari) è ordn + 1(2). Nel caso d un mazzo di 52 carte, servono ord53(2) = 52 passaggi e non sono a conoscenza di alcuno che abbia compiuto l’impresa.

 

Nel caso delle carte “italiane”, con un mazzo di 40, servono ord39(2) = 12 mescolamenti esterni perfetti o ord41(2) = 20 mescolamenti interni perfetti per ripristinare l’ordine iniziale.

 

La tabella seguente riporta i valori di ordk(n) per k e n da 2 a 20.

k \ n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

2

-

1

-

1

-

1

-

1

-

1

-

1

-

1

-

1

-

1

-

3

2

-

1

2

-

1

2

-

1

2

-

1

2

-

1

2

-

1

2

4

-

2

-

1

-

2

-

1

-

2

-

1

-

2

-

1

-

2

-

5

4

4

2

-

1

4

4

2

-

1

4

4

2

-

1

4

4

2

-

6

-

-

-

2

-

1

-

-

-

2

-

1

-

-

-

2

-

1

-

7

3

6

3

6

2

-

1

3

6

3

6

2

-

1

3

6

3

6

2

8

-

2

-

2

-

2

-

1

-

2

-

2

-

2

-

1

-

2

-

9

6

-

3

6

-

3

2

-

1

6

-

3

6

-

3

2

-

1

6

10

-

4

-

-

-

4

-

2

-

1

-

4

-

-

-

4

-

2

-

11

10

5

5

5

10

10

10

5

2

-

1

10

5

5

5

10

10

10

5

12

-

-

-

2

-

2

-

-

-

2

-

1

-

-

-

2

-

2

-

13

12

3

6

4

12

12

4

3

6

12

2

-

1

12

3

6

4

12

12

14

-

6

-

6

-

-

-

3

-

3

-

2

-

1

-

6

-

6

-

15

4

-

2

-

-

4

4

-

-

2

-

4

2

-

1

4

-

2

-

16

-

4

-

4

-

2

-

2

-

4

-

4

-

2

-

1

-

4

-

17

8

16

4

16

16

16

8

8

16

16

16

4

16

8

2

-

1

8

16

18

-

-

-

6

-

3

-

-

-

6

-

3

-

-

-

2

-

1

-

19

18

18

9

9

9

3

6

9

18

3

6

18

18

18

9

9

2

-

1

20

-

4

-

-

-

4

-

2

-

2

-

4

-

-

-

4

-

2

-

 

m e n sono primi tra loro e ordk(m) = ordk(n), ordk(mn) = mcm(ordk(m), ordk(n));

Vedi anche

Radici primitive.

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