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Sofà (costante del)

Geometria 

Quanto è lunga la più lunga asta che possa essere fatta passare in un corridoio ad angolo retto di larghezza unitaria, mantenendola orizzontale? Evidentemente 2 * sqrt(2), come mostra la figura.

Raffigurazione della più lunga asta che possa essere fatta passare in un corridoio ad angolo retto

 

Se invece di un’asta abbiamo una curva rigida, la lunghezza può essere aumentata a piacere, con una curva infinitamente pieghettata, contenuta in una striscia sottile, mentre la massima distanza tra gli estremi è 2 + 2 * sqrt(2), vale a dire la distanza tra gli estremi di un quarto di circonferenza di raggio 2 + sqrt(2), come mostra la figura.

Raffigurazione della più lunga linea che possa essere fatta passare in un corridoio ad angolo retto

Nella figura bisogna immaginare la curva colorata come se fosse una striscia sottilissima, contenente una curva pieghettata, che si può rendere lunga a piacere.

 

Se invece di una figura monodimensionale cerchiamo di far passare una figura piana, quale sarà la massima area, detta “costante del sofà”?

Se ci limitiamo ai rettangoli, la risposta è facile: come mostra la figura seguente, il momento critico è quando la figura è a metà dell’angolo, in contatto con le due pareti esterne e con lo spigolo interno.

Raffigurazione del massimo rettangolo che possa essere fatto passare in un corridoio ad angolo retto

Il problema si riduce a cercare il massimo rettangolo inscrivibile in un triangolo rettangolo isoscele di lato 2 e non è difficile dimostrare che ha lati sqrt(2)sqrt(2) / 2 e quindi area 1.

Analogamente se consideriamo solo quadrati, il problema si riduce a cercare il massimo quadrato inscrivibile in un triangolo rettangolo isoscele di lato 2 e non è difficile dimostrare che ha lato 2 * sqrt(2) / 3 e quindi area 8 / 9, mentre un quadrato di spigolo 1 può superare l’angolo, ma senza ruotare e quindi senza mantenere costante il suo orientamento rispetto al corridoio.

 

Se però ammettiamo qualsiasi forma, il problema diventa estremamente difficile; la prima risposta venne da J.M. Hammersley, che nel 1968 propose la forma, mostrata nella figura, costituita da un rettangolo di lati 1 e 2 / π, privato di un semicerchio di diametro pari al suo lato maggiore e affiancato da due quarti di cerchio di raggio 1.

Raffigurazione del sofà proposto da Hammersley

L’area della figura è π / 2 + 2 / π. Hammersley dimostrò anche che l’area non può superare 2 * sqrt(2).

 

Nel 1992 J.L. Gerver trovò un sofà leggermente maggiore; anche se molto simile a quello di Hammersley; è più complicato, avendo il perimetro costituito da ben 18 sezioni differenti ed ha la massima area possibile tra tutti quelli che ruotano di 90º intorno all’angolo e toccano i bordi prima in due punti, poi in quattro, quindi in 3 (dopo una rotazione di 45º), poi completano il passaggio con un movimento simmetrico. Sarebbe molto strano se esistesse un sofà di area maggiore, perché dovrebbe toccare i bordi in un modo differente da quello che sembra, intuitivamente, ottimale.

 

L’area del sofà di Gerver, detta anche “costante di Gerver”, vale circa 2.21953166887197 e si trova con un calcolo piuttosto complesso.

Per prima cosa bisogna trovare le soluzioni positive del sistema di equazioni:

  • a(cosθ – cosφ) – 2bsinφ+ (θ – φ – 1)cosθ – sinθ + cosφ + sinφ = 0;

  • a(3sinθ + sinφ) – 2bcosφ+ 3(θ – φ – 1)sinθ + 3cosθ + cosφ – sinφ = 0;

  • Equazione per il calcolo di a, b, θ e φ;

  • Equazione per il calcolo di a, b, θ e φ.

La soluzione (approssimata) è: a = 0.0944265608, b = 1.3992037273, θ = 0.6813015094, φ = 0.0391773648.

Si definiscono quindi le funzioni:

Formula per la definizione di r(α)

s(α) = 1 – r(α);

Formula per la definizione di u(α)

Formula per la derivata di u(α)

Formula per la definizione di y1(α);

Formula per la definizione di y2(α);

Formula per la definizione di y3(α).

Finalmente l’area del sofà si calcola come Formula per l'area del sofà di Gerver.

Bibliografia

  • Ainley, Stephen;  Mathematical Puzzles, New York, Prentice Hall, 1983 -

    Un libro di problemi matematici non troppo difficili. La lista dei semi-numeri è però incompleta.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Puzzles, Londra, Penguin Books, 1992.

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