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Kourbatov (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Le congetture avanzate da Alexei Kourbatov nel 2013 riguardano le n-uple di primi, ovvero gli insiemi di n primi (p, p + 2m1, p + 2m2, ... p + 2mn – 1), tali che non esistano semplici condizioni di divisibilità che impediscano ai numeri di essere tutti primi (condizione di Bunyakovsky, v. congettura di Bunyakovsky). Kourbatov considerò le n-uple col minimo valore possibile di mn – 1.

Per esempio, per n = 3 le triple sono: (p, p + 2, p + 6) e (p, p + 4, p + 6); non vale al tripla (p, p + 2, p + 4), perché l’unica del genere è (3, 5, 7), dato che in ogni altro insieme del genere uno dei numeri è multiplo di 3.

Analogamente l’unica quadrupla è (p, p + 2, p + 6, p + 8) e le quintuple sono: (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) e (p, p + 4, p + 6, p + 10, p + 12).

 

Kourbatov avanzò la congettura che la massima differenza tra due n-uple di primi come quelle sopra descritte minori di x tenda a log(x)^(n + 1() / C(n), dove Cn è la costante di Hardy e Littlewood relativa alla n-upla. La congettura è in buon accordo con i dati disponibili.

 

Kourbatov propose anche alcune congetture che generalizzano la congettura di Legendre (II), nella forma:

  • per m > rn vi è sempre una n-upla di primi tra m2 e (m + 1)2, dove rn dipende dalla n-upla;

  • per m > sn vi è sempre una n-upla di primi tra mn + 1 e (m + 1)n + 1, dove sn dipende dalla n-upla.

 

La tabella seguente riporta i valori di rn e sn proposti da Kourbatov.

n

rn

sn

1

0

0

2

122

0

3

3113

0

4

719377

0

5

15467683

0

6

 

6

 

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