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φ#(n)

Funzioni 

φ#(n) è il numero di interi positivi non superiori a n che non hanno divisori non unitari (di n) in comune con n. Un divisore d di n si dice unitario se dn / d non hanno divisori comuni maggiori di 1.

Per convenzione si conta sempre l’unità, pertanto φ#(1) = 1.

Mentre nel caso della funzione φ specificare se si considerano gli interi “inferiori a n” o “non superiori a n” non fa differenza, nel caso della funzione φ# la differenza è imporante, perché se n non è multiplo di quadrati, n non condivide divisori non unitari con se stesso e quindi va contato. Infatti, se n non è multiplo di quadrati, φ#(n) = n; in generale n ≥ φ#(n) ≥ φ(n).

 

La funzione è moltiplicativa e può essere calcolata a partire dalla scomposizione in fattori primi dell’argomento, sapendo che se p è primo, φ#(p) = p e φ#(pn) = φ#(pn) per n > 1: se Scomposizione di n in fattori primi è la scomposizione di n in fattori primi, dove i vari primi pr e qk sono tutti distinti, Formula per il calcolo della funzione φ#.

 

Se n è il massimo divisore unitario di n non multiplo di quadrati, ovvero il prodotto dei fattori primi di n, il quadrato dei quali non divide n, allora Formula per il calcolo della funzione φ#; se n = 1, cioè se n è potente, φ#(n) = φ(n).

 

Steve Ligh e Charles R. Wall dimostrarono nel 1985 che:

  • Formula che coinvolge la funzione φ#;

  • Formula che coinvolge la funzione φ#, dove S è l’insieme dei divisori di n divisibili per tutti i primi che dividono n, ossia dei divisori che sono multipli di Π(n);

  • Formula che coinvolge la funzione φ#.

 

La tabella seguente riporta i valori di φ#(n) per n fino a 20.

n

φ#(n)

1

1

2

2

3

3

4

2

5

5

6

6

7

7

8

4

9

6

10

10

11

11

12

6

13

13

14

14

15

15

16

8

17

17

18

12

19

19

20

10

 

Si conoscono 10 interi tali che Formula che coinvolge la funzione φ#: 3960, 5220, 6773440, 8447040, 1873080, 18685336320, 341863562880, 357174165248, 1018887932160, 20993596382889043200 (Steve Ligh e Charlses R. Wall, 1985).

Vedi anche

Funzione φ, Funzione φ*.

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