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Socievoli generalizzati (numeri)

Teoria dei numeri 

Yasutoshi Kohmoto esaminò nel 2006 una generalizzazione dei numeri socievoli, considerando cicli di n numeri naturali an tali che a(k) = σ(a(k – 1)) / m per k da 2 a n e a(1) = σ(a(n)) / m. In altri termini, calcolando la somma dei divisori di ognuno dei numeri del ciclo divisa per m si ottiene il successivo e dall’ultimo si ottiene il primo allo stesso modo. Si dice “ordine” di un ciclo il numero di elementi che lo compongono.

 

I numeri multiperfetti costituiscono un caso particolare, di cicli di ordine 1.

 

Per m = 2 esistono probabilmente infiniti cicli di ordine 2 perché se Mp =2p – 1 e Mq =2q – 1 sono primi di Mersenne distinti, allora σ(2q – 1Mp) = 2pMq e σ(2p – 1Mq) = 2qMp, quindi 2q – 1Mp e 2p – 1Mq costituiscono un ciclo di ordine 2 di numeri socievoli generalizzati.

 

La tabella seguente riporta i cicli noti, escludendo i numeri multiperfetti e quelli formati da coppie di primi di Mersenne (Yasutoshi Kohmoto, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

m

Ordine

Cicli

3

2

(7680, 8184);

(1100190, 1124352);

(14913024, 16149760);

(775898880, 874897408)

4

2

(859320, 898560);

(2096640, 2234232);

(54996480, 61281792);

(422688000, 436205952)

4

12

(3885024780, 3813316416, 3609944520, 3561062400, 3900643200, 3817925280, 4057143552, 3880415448, 3569693400, 4116403200, 4548597760, 3396556800)

 

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