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Elliott – Halberstam (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Dal teorema di Dirichlet sappiamo che se a e b sono interi positivi primi tra loro, il numero π(n, a, b) di primi minori di n della forma ak + b tende a π(n) / φ(n).

La congettura proposta nel 1969 da P.D.T.A Elliott e H. Halberstam afferma che se Formula per la definizione di E(n, a), allora Formula per la congettura di Elliott – Halberstam, per due costanti A e C.

 

La congettura fu dimostrata da Enrico Bombieri e Askold Ivanovich Vinogradov (1929 – 31/12/2005) nel 1965 per θ < 1 / 2 (teorema di Bombieri – Vinogradov), mentre è noto che non vale per θ = 1.

 

Nel 2005 Dan A. Goldston, János Pintz e Cem Yalçin Yıldırım dimostrarono che, se la congettura vale per θ ≤ (32 - 4 * sqrt(19)) / 15, esistono infinite coppie di primi con differenza non superiore a 16 (v. congettura dei primi gemelli).

Nel 2013 James Maynard supponendo vera la congettura ridusse il limite a 12.

Nel 2014 la collaborazione di vari matematici nel gruppo “Polymath” ridusse il limite a 6, supponendo vera una forma più generale della congettura.

 

Dalla forma più generale della congettura segue anche che per n pari almeno un intero tra n e n + 2 è esprimibile come somma di due numeri primi: una forma debole della congettura di Goldbach.

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