Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Radu (congettura di) (I)

Congetture  Teoria dei numeri 

I.M. Radu propose la congettura che μ(n) + μ(n + 1) = μ(n + 2) abbia infinite soluzioni, dove μ(n) (II) è la funzione di Smarandache.

 

Le soluzioni note, dette anche “triple di Smarandace – Fibonacci”, sono mostrate nella tabella seguente.

n

μ(n)

μ(n + 1)

μ(n + 2)

1

1

2

3

9

6

5

11

119

17

5

22

4900

14

29

43

26243

163

18

181

32110

26

197

223

64008

127

46

173

368138

151

82

233

415662

167

146

313

2091206

67

202

269

2519648

907

202

1109

4573053

463

106

569

7783364

2389

202

2591

79269727

142

2719

2861

136193976

2879

554

3433

321022289

7411

178

7589

445810543

953

761

1714

559199345

467

662

1129

670994143

5653

838

6491

836250239

9377

482

9859

893950202

151

2062

2213

937203749

278

10223

10501

1041478032

1361

1286

2647

1148788154

1721

746

2467

1305978672

4139

1514

5653

1834527185

3037

634

3671

2390706171

4019

2642

6661

2502250627

283

2578

2861

3969415464

4603

1198

5801

3970638169

1423

643

2066

4652535626

199

3307

3506

6079276799

557

2837

3394

6493607750

1787

1262

3049

6964546435

347

1814

2161

11329931930

997

2026

3023

11695098243

11527

1294

12821

11777879792

577

1597

2174

13429326313

3181

1597

4778

13849559620

4409

2474

6883

14298230970

191

1847

2038

14988125477

223

2986

3209

17560225226

1123

3118

4241

18704681856

1223

1823

3046

23283250475

4099

463

4562

25184038673

3631

1951

5582

29795026777

2459

8819

11278

69481145903

2579

3722

6301

107456166733

4519

6043

10562

107722646054

1549

6673

8222

122311664350

10163

10463

20626

126460024832

4339

2578

6917

155205225351

4283

4034

8317

196209376292

3989

3257

7246

210621762776

5347

1567

6914

211939749997

5501

11273

16774

344645609138

4423

2803

7226

484400122414

4153

12658

16811

533671822944

2971

18118

21089

620317662021

1627

20302

21929

703403257356

2273

10874

13147

859525157632

10601

3557

14158

898606860813

6571

13402

19973

972733721905

53

10214

10267

1185892343342

6229

12022

18251

1225392079121

2909

9293

12202

1294530625810

11807

5807

17614

1517767218627

3299

8318

11617

1905302845042

601

21478

22079

2679220490034

3943

7459

11402

3043063820555

2749

12202

14951

6098616817142

4561

20206

24767

6505091986039

11867

19862

31729

13666465868293

11657

16442

28099

 

E’ probabile che le soluzioni siano infinite; se:

  • p, q e r sono primi,

  • n = xpa, con ap e μ(x) < ap, per cui μ(n) = ap;

  • n + 1 = yqb, con bq e μ(y) < bq, per cui μ(n + 1) = bq;

  • n + 2 = zrc, con cr e μ(z) < cr, per cui μ(n + 2) = cr;

allora il problema di trovare n si riduce a trovare soluzioni intere al sistema di equazioni yqbxpa = 1, zrcyqb = 1, cr = ap + bq, con le caratteristiche richieste. Le soluzioni ottenute in questo modo sembrano essere infinite, ma non è stato dimostrato.

Nel 1997 Henry Ibstedt trovò in questo modo le soluzioni:

  • n = 16738688950354, μ(n) = 23561, μ(n + 1) = 6977, μ(n + 2) = 30538;

  • n = 19448047080034, μ(n) = 17159, μ(n + 1) = 17027, μ(n + 2) = 34186.

 

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