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Dickson di prima specie (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Dickson di prima specie , detti anche “polinomi di Brewer”, sono una sequenza di polinomi definita da Leonard Eugene Dickson (Independence, USA, 22/1/1874 – Harlingen, USA, 17/1/1954) nel 1897 e riscoperta da B.W. Brewer nel 1961.

 

Sono definiti tramite la ricorrenza Dn(0, α) = 2, Dn(1, α) = x, Dn(x, α) = xDn – 1(x, α) – αDn – 2(x, α).

 

Sono polinomi a coefficienti interi, col coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 per n > 0.

 

Nel campo complesso sono sostanzialmente equivalenti ai polinomi di Chebyshev di prima specie; la loro applicazione principale è nei campi finiti, nei quali non equivalgono ai polinomi di Chebyshev di prima specie.

 

Il polinomio Dn(x, α) è soluzione dell’equazione differenziale (x2 – 4α)y” + xy’ – n2y = 0.

 

Alcune formule che coinvolgono i polinomi di Dickson di prima specie:

Dn(x, 0) = xn, per n > 0;

Formula che coinvolge i polinomi di Dickson di prima specie, per n > 0;

Formula che coinvolge i polinomi di Dickson di prima specie;

Dmn(x, α) = Dm(Dn(x, α), αn);

Dn(2αx, α2) = 2αnTn(x) e in particolare Dn(2x, 1) = 2Tn(x), dove Tn(x) è un polinomio di Chebyshev di prima specie.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei polinomi di Dickson di prima specie, ovvero Funzione generatrice dei polinomi di Dickson di prima specie.

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi di Dickson di prima specie.

n

Dn(x, α)

0

2

1

x

2

x2 – 2α

3

x3 – 3αx

4

x4 – 4αx2 + 2α2

5

x5 – 5αx3 + 5α2x

6

x6 – 6αx4 + 9α2x2 – 2α3

7

x7 – 7αx5 + 14α2x3 – 7α3x

8

x8 – 8αx6 + 20α2x4 – 16α3x2 + 2α4

9

x9 – 9αx7 + 27α2x5 – 30α3x3 + 9α4x

10

x10 – 10αx8 + 35α2x6 – 50α3x4 + 25α4x2 – 2α5

11

x11 – 11αx9 + 44α2x7 – 77α3x5 + 55α4x3 – 11α5x

12

x12 – 12αx10 + 54α2x8 – 112α3x6 + 105α4x4 – 36α5x2 + 2α6

13

x13 – 13αx11 + 65α2x9 – 156α3x7 + 182α4x5 – 91α5x3 + 13α6x

14

x14 – 14αx12 + 77α2x10 – 210α3x8 + 296α4x6 – 196α5x4 + 49α6x2 – 2α7

15

x15 – 15αx13 + 90α2x11 – 275α3x9 + 450α4x7 – 378α5x5 + 140α6x3 – 15α7x

16

x16 – 16αx14 + 104α2x12 – 352α3x10 + 660α4x8 – 672α5x6 + 336α6x4 – 64α7x2 + 2α8

17

x17 – 17αx15 + 119α2x13 – 442α3x11 + 935α4x9 – 1122α5x7 + 714α6x5 – 204α7x3 + 17α8x

18

x18 – 18αx16 + 135α2x14 – 546α3x12 + 1287α4x10 – 1782α5x8 + 1386α6x6 – 540α7x4 + 81α8x2 – 2α9

19

x19 – 19αx17 + 152α2x15 – 665α3x13 + 1729α4x11 – 2717α5x9 + 2508α6x7 – 1254α7x5 + 285α8x3 – 19α9x

20

x20 – 20αx18 + 170α2x16 – 800α3x14 + 2275α4x12 – 4004α5x10 + 4290α6x8 – 2640α7x6 + 825α8x4 – 100α9x2 + 2α10

 

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