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Dickson di seconda specie (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Dickson di seconda specie sono polinomi definiti tramite la ricorrenza En(0, α) = 1, En(1, α) = x, En(x, α) = xEn – 1(x, α) – αEn – 2(x, α).

 

Sono polinomi a coefficienti interi, col coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 per n > 0.

 

Il polinomio En(x, α) è soluzione dell’equazione differenziale (x2 – 4α)y” + 3xy’ – n(n + 2)y = 0.

 

Alcune formule che coinvolgono i polinomi di Dickson di seconda specie:

En(x, 0) = xn;

Formula che coinvolge i polinomi di Dickson di seconda specie, per n > 0;

En(2αx, α2) = αnUn(x) e in particolare En(2x, 1) = Un(x), dove Un(x) è un polinomio di Chebyshev di seconda specie.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei polinomi di Dickson di seconda specie, ovvero Funzione generatrice dei polinomi di Dickson di seconda specie.

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi di Dickson di seconda specie.

n

En(x, α)

0

1

1

x

2

x2 – α

3

x3 – 2αx

4

x4 – 3αx2 + α2

5

x5 – 4αx3 + 3α2x

6

x6 – 5αx4 + 6α2x2 – α3

7

x7 – 6αx5 + 10α2x3 – 4α3x

8

x8 – 7αx6 + 15α2x4 – 10α3x2 + α4

9

x9 – 8αx7 + 21α2x5 – 20α3x3 + 5α4x

10

x10 – 9αx8 + 28α2x6 – 35α3x4 + 15α4x2 – α5

11

x11 – 10αx9 + 36α2x7 – 56α3x5 + 35α4x3 – 6α5x

12

x12 – 11αx10 + 45α2x8 – 84α3x6 + 70α4x4 – 21α5x2 + α6

13

x13 – 12αx11 + 55α2x9 – 120α3x7 + 126α4x5 – 56α5x3 + 7α6x

14

x14 – 13αx12 + 66α2x10 – 165α3x8 + 210α4x6 – 126α5x4 + 28α6x2 – α7

15

x15 – 14αx13 + 78α2x11 – 220α3x9 + 330α4x7 – 252α5x5 + 84α6x3 – 8α7x

16

x16 – 15αx14 + 91α2x12 – 286α3x10 + 495α4x8 – 462α5x6 + 210α6x4 – 36α7x2 + α8

17

x17 – 16αx15 + 105α2x13 – 364α3x11 + 715α4x9 – 792α5x7 + 462α6x5 – 120α7x3 + 9α8x

18

x18 – 17αx16 + 120α2x14 – 455α3x12 + 1001α4x10 – 1287α5x8 + 924α6x6 – 330α7x4 + 45α8x2 – α9

19

x19 – 18αx17 + 136α2x15 – 560α3x13 + 1365α4x11 – 2002α5x9 + 1716α6x7 – 792α7x5 + 165α8x3 – 10α9x

20

x20 – 19αx18 + 153α2x16 – 680α3x14 + 1820α4x12 – 3003α5x10 + 3003α6x8 – 1716α7x6 + 495α8x4 – 55α9x2 + α10

 

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