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Potenti (congetture sui numeri)

Congetture  Teoria dei numeri 

Sono state avanzate varie congetture sui numeri potenti (I); oltre alle famose congetture di Erdös, le principali sono:

  • non esistono numeri potenti della forma n2k – 1, con n pari;

  • se nk è il numero potente più vicino a 2k, |2knk| tende a infinito;

  • i numeri potenti della forma 2k + 1 e 2k – 1 sono in numero finito;

  • i numeri potenti della forma 2k – 1 sono in numero finito;

  • i numeri potenti della forma 22k – 1 sono in numero finito.

Le ultime tre sono versioni progressivamente più deboli della seconda.

 

La penultima congettura implica che esistano infiniti valori di n tali che 2n – 1 sia divisibile per un primo p che non divide 2m – 1 per m < n e tale che p2 non divide 2n – 1.

 

L’ultima congettura implicherebbe l’esistenza di infiniti numeri primi non di Wieferich, fatto peraltro ritenuto vero da tutti i matematici, quindi lo stesso vale per tutte le congetture tranne la prima (De Leon).

 

La congettura di Erdös che non esistono tre numeri potenti consecutivi implica l’ultima, perché se 22k – 1 fosse potente, tali sarebbero i fattori 2k – 1 e 2k + 1, primi tra loro e quindi 2k – 1, 2k e 2k + 1 sarebbero tre numeri potenti consecutivi.

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