Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Potenti (numeri) (II)

Rappresentazione dei numeri 

Sono talvolta chiamati “potenti” i numeri naturali uguali alla somma di una potenza (fissata) delle loro cifre. Per esempio, 4150 = 45 + 15 + 55 + 05.

 

Con questa definizione costituiscono una generalizzazione dei numeri di Armstrong. Più comunemente la definizione viene allargata a includere i numeri pari alla somma di una qualsiasi potenza (con esponente maggiore di zero) delle loro cifre. Per esempio, 43 = 42 + 33.

I numeri che soddisfano questa definizione allargata sono talvolta chiamati “simpatici”.

 

L’unico numero potente in base 2 è 1, mentre ve ne sono vari, a parte i casi banali 0 e 1, in tutte le altre basi.

 

A parte il caso banale 1, esistono numeri uguali alla somma dei quadrati delle cifre in base b solo se b2 + 1 è composto, quindi non ne esistono in base 10, come dimostrò N.J. Fine nel 1964.

 

Gli unici numeri uguali alla somma dei cubi delle loro cifre in base 10 sono 153, 370, 371 e 407; P.K. Subramanian dimostrò nel 1968 che in qualsiasi base b i numeri di questo tipo non possono essere di più di 4 cifre, che si riducono a 3 se l’ultima è 0 o 1 e se Radice quadrata della base è irrazionale, ovvero se b non è un quadrato, hanno per forza 3 cifre.

 

Vi sono alcuni casi che valgono in varie basi.

  • Se la base b ha la forma mkm + 1, il numero b + m in base b si scrive 1mb e la somma delle k-esime potenze delle cifre è mk + 1 uguale al numero stesso. Per esempio, in base 15 = 24 – 2 + 1, 1215 = 17 è uguale alla somma delle quarte potenze delle cifre.

  • Se la base b ha la forma 2k – 1, il numero 2b + 2 in base b si scrive 22b e la somma delle k-esime potenze delle cifre è 2mk uguale al numero stesso. Per esempio, in base 15 = 24 – 1, 222 = 32 è uguale alla somma delle quarte potenze delle cifre.

Se la base b = mk è a sua volta una potenza ci sono due sequenze infinite di interi del genere.

  • Il numero msbr, con s < k, in base b si scrive come ms (rappresentato da una sola cifra) seguito da r zeri; la somma delle n-esime potenze delle cifre è mns, uguale al numero se n = kr + s. Per esempio, in base 8 = 23, 2008 = 128 e 400008 = 16384 sono uguali alla somma delle settime potenze delle loro cifre.

  • Il numero msbr + 1, con s < k, in base b si scrive come ms (rappresentato da una sola cifra) seguito da r – 1 zeri e un 1; la somma delle n-esime potenze delle cifre è mns + 1, uguale al numero se n = kr + s. Per esempio, in base 8 = 23, 2018 = 129 e 400018 = 16385 sono uguali alla somma delle settime potenze delle loro cifre.

 

La tabella seguente riporta i numeri inferiori a 109 uguali alla somma dei quadrati, dei cubi e dei biquadrati delle loro cifre in base b, escludendo il caso banale 1.

b \ n

2

3

4

3

123 = 5, 223 = 8

1223 = 17

-

4

-

204 = 8, 214 = 9, 1304 = 28, 1314 = 29, 2034 = 35, 2234 = 43, 3134 = 55, 3324 = 62

11034 = 83, 33034 = 243

5

235 = 13, 335 = 18

1035 = 28, 4335 = 118

21245 = 289, 24305 = 353, 31345 = 419

6

 

1506 = 66, 1516 = 67, 2436 = 99, 5146 = 190, 11556 = 251

-

7

137 = 10, 347 = 25, 447 = 32, 637 = 45

127 = 9, 227 = 16, 2507 = 133, 2517 = 134, 3057 = 152, 5057 = 250

-

8

248 = 20, 468 = 52

1348 = 92, 2058 = 133, 4638 = 307, 6608 = 432, 6618 = 433

208 = 16, 218 = 17, 4008 = 256, 4018 = 257, 4208 = 272, 4218 = 273

9

459 = 41, 559 = 50

309 = 27, 1509 = 126, 1519 = 127, 5709 = 468, 5719 = 469, 13889 = 1052

4329 = 353, 24469 = 1824

10

-

153, 370, 371, 407

1634, 8208, 9474

11

5611 = 61, 6611 = 72

3211 = 35, 10511 = 126, 30711 = 370, 70811 = 855, 96611 = 1161, A0611 = 1216, A6411 = 1280

24211 = 288, 800911 = 10657

12

2512 = 29, A512 = 125

57712 = 811, 66812 = 944, A8312 = 1539, 11AA12 = 2002

-

13

1413 = 17, 3613 = 45, 6713 = 85, 7713 = 98, A613 = 136, B413 = 160, B8513 = 1968

49013 = 793, 49113 = 794, 50913 = 854, 150A13 = 3052

396413 = 8194

14

 

13614 = 244, 40914 = 793

-

15

7815 = 113, 8815 = 128

C3A15 = 2755

1215 = 17, 2215 = 32, 177415 = 5059, E81915 = 49074, E82915 = 49089, 10BE415 = 53314

16

-

2116 = 35, 4016 = 64, 4116 = 65, 15616 = 342, 17316 = 371, 20816 = 520, 24816 = 584, 28516 = 645, 4A516 = 1189, 60B16 = 1547, 64B16 = 1611, 8C016 = 2240, 8C116 = 2241, 99A16 = 2458, AA916 = 2729, AC316 = 2755, CA816 = 3240, E6916 = 3689, EA016 = 3744, EA!16 = 3745, 152816 = 5416

B8D216 = 47314

17

2617 = 40, 3717 = 58, 8917 = 145, 9917 = 162, E717 = 245, F617 = 261

3317 = 54, 50B17 = 1456

76D817 = 36354

18

4818 = 80, 6918 = 117, C918 = 225, E818 = 260, G8918 = 5337

-

-

19

9A19 = 181, AA19 = 200, 58B19 = 1968, G8B19 = 5939

18019 = 513, 18119 = 514, 27819 = 863, 6D019 = 2413, 6D119 = 2414, 70D19 = 2540

CFA919 = 87922, FDD319 = 107828, 1GGAI19 = 246049

20

-

60D20 = 2413

6CA820 = 53808

 

Vi sono alcuni casi di numeri uguali alla somma della stessa potenza delle loro cifre in più basi; quelli inferiori a 109 in basi fino a 20 sono:

  • 9, uguale alla somma dei cubi delle cifre in base 4 e 7

  • 17, uguale alla somma delle quarte potenze delle cifre in base 8 e 15

  • 28, uguale alla somma dei cubi delle cifre in base 4, 5 e 9

  • 33, uguale alla somma delle quinte potenze delle cifre in base 3, 4 e 16;

  • 35, uguale alla somma dei cubi delle cifre in base 4, 11 e 16;

  • 45, uguale alla somma dei quadrati delle cifre in base 7 e 13;

  • 65, uguale alla somma delle quinte potenze delle cifre in base 3 e 7;

  • 126, uguale alla somma dei cubi delle cifre in base 9 e 11;

  • 128, uguale alla somma delle settime potenze delle cifre in base 4 e 8;

  • 129, uguale alla somma delle settime potenze delle cifre in base 4 e 8;

  • 133, uguale alla somma dei cubi delle cifre in base 7 e 8;

  • 257, uguale alla somma delle settime potenze delle cifre in base 5 e 15;

  • 308, uguale alla somma delle quinte potenze delle cifre in base 5 e 6;

  • 353, uguale alla somma delle quarte potenze delle cifre in base 5 e 9;

  • 370, uguale alla somma dei cubi delle cifre in base 10 e 11;

  • 371, uguale alla somma dei cubi delle cifre in base 10 e 16;

  • 512, uguale alla somma delle none potenze delle cifre in base 4 e 16;

  • 513, uguale alla somma delle none potenze delle cifre in base 3, 4 e 16;

  • 793, uguale alla somma dei cubi delle cifre in base 13 e 14;

  • 1056, uguale alla somma delle quinte potenze delle cifre in base 8 e 16;

  • 1057, uguale alla somma delle quinte potenze delle cifre in base 8 e 16;

  • 1456, uguale alla somma dei cubi delle cifre in base 16 e 17;

  • 1968, uguale alla somma dei cubi delle cifre in base 13 e 19;

  • 2413, uguale alla somma dei cubi delle cifre in base 19 e 20;

  • 2755, uguale alla somma dei cubi delle cifre in base 15 e 16;

  • 16384, uguale alla somma delle settime potenze delle cifre in base 8 e 16;

  • 16385, uguale alla somma delle settime potenze delle cifre in base 8 e 16;

  • 17864, uguale alla somma delle quinte potenze delle cifre in base 8 e 11;

  • 17865, uguale alla somma delle quinte potenze delle cifre in base 8 e 11;

  • 24583, uguale alla somma delle quinte potenze delle cifre in base 8 e 16;

  • 25639, uguale alla somma delle quinte potenze delle cifre in base 8 e 16.

 

Se ammettiamo la definizione allargata, i numeri potenti sono relativamente frequenti; quelli inferiori a 1000 sono:

1 = 1n,

2 = 21,

3 = 31,

4 = 41,

5 = 51,

6 = 61,

7 = 71,

8 = 81,

9 = 91,

24 = 23 + 42,

43 = 42 + 33,

63 = 62 + 33,

89 = 81 + 92,

132 = 1n + 31 + 27,

135 = 1n + 32 + 53,

153 = 1n + 53 + 33,

175 = 1n + 72 + 53,

209 = 27 + 0n + 92,

224 = 25 + 27 + 43,

226 = 21 + 23 + 63,

262 = 27 + 61 + 27,

264 = 25 + 63 + 42 = 264 = 21 + 61 + 44,

267 = 21 + 63 + 72,

283 = 25 + 81 + 35,

332 = 34 + 35 + 23,

333 = 32 + 34 + 35,

334 = 33 + 35 + 43,

357 = 32 + 51 + 73,

370 = 33 + 73 + 0n,

371 = 33 + 73 + 1n,

372 = 33 + 73 + 21,

373 = 31 + 73 + 33 = 373 = 34 + 72 + 35,

374 = 33 + 73 + 41,

375 = 33 + 73 + 51 = 375 = 35 + 71 + 53,

376 = 33 + 73 + 61,

377 = 33 + 71 + 73,

378 = 33 + 73 + 81,

379 = 33 + 73 + 91,

407 = 43 + 0n + 73,

445 = 43 + 44 + 53,

463 = 41 + 63 + 35,

518 = 51 + 1n + 83,

598 = 51 + 92 + 83,

629 = 62 + 29 + 92,

739 = 71 + 31 + 93,

794 = 72 + 93 + 42,

849 = 83 + 44 + 92,

935 = 93 + 34 + 53 = 935 = 92 + 36 + 53,

994 = 91 + 93 + 44.

Qui trovate i numeri potenti fino a 106 (2.2 Mbyte).

 

Dato che la categoria è piuttosto vasta, sono state esaminate più accuratamente alcune sottocategorie con caratteristiche particolari.

Tra queste la più semplice è costituita dai numeri uguali alla somma di potenze consecutive delle loro cifre, cioè uguali alla prima cifra, più il quadrato della seconda, più il cubo della terza e così via, come 2427 = 21 + 42 + 23 + 74.

Questi numeri sono sono in numero finito in qualsiasi base, come conseguenza del teorema di Schwartz (v. numeri di Armstrong). In base 10 sono solo 20: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 89, 135, 175, 518, 598, 1306, 1676, 2427, 2646798 e 12157692622039623539.

Rientrano nella categoria tutti i numeri rappresentati con una sola cifra e i numeri della forma n2 + m, che in base n = (n^2 – n + m) / m, se b è intero (ossia se m divide n2n), si rappresentano come mnb. Per esempio, con n = 4 e m = 2, abbiamo b = 7 e 247 = 18 appartiene alla categoria.

In particolare appartengono alla categoria i numeri rappresentati dalla cifra b – 2 seguita da b – 1 per b maggiore di 2, perché la somma delle potenze è uguale al numero rappresentato, ossia b2b – 1. Per esempio, 789 = 71 appartiene alla categoria.

Non ne conosco alcuno, a parte i casi banali di una sola cifra, che abbia questa proprietà in due basi diverse; non ne esistono sicuramente tra i numeri inferiori a 109 nelle basi sino a 20.

 

La tabella seguente riporta i numeri inferiori a 109 uguali alla somma delle cifre, elevate a esponenti crescenti nelle basi da 2 a 20 (M. Fiorentini, 2015); sono esclusi i casi banali di numeri di una sola cifra.

Base

Numeri uguali alla somma delle cifre elevate a esponenti crescenti

2

-

3

123 = 5

4

234 = 11, 11034 = 83, 11234 = 91

5

345 = 19, 1035 = 28, 20145 = 259, 134245 = 1114, 101101445 = 81924

6

296 = 45

7

137 = 10, 247 = 18, 567 = 41, 1347 = 74, 1447 = 81, 10547 = 382, 36167 = 1336, 36267 = 1343

8

678 = 55, 203568 = 8430, 1333268 = 46806

9

789 = 71, 60789 = 4445, 255479 = 17215, 361374789 = 17621783, 1334028879 = 59228332

10

89, 135, 175, 518, 598, 1306, 1676, 2427,2646798

11

2511 = 27, 3611 = 39, 9A11 = 109, 10511 = 126, 43811 = 525, 48811 = 580, 60911 = 735, 85A11 = 1033, 86A11 = 1044, 207711 = 2746, 4050911 = 59178, 4378911 = 63501, 515AA64A11 = 100173171

12

AB12 = 131

13

1413 = 17, 6913 = 87, BC13 = 155, 16613 = 253, 17613 = 266, 20713 = 345, 30813 = 515, A4C13 = 1754, A9C13 = 1819, 89A3C13 = 250002, 29031A13 = 1000165, 6C3A9A9C13 = 435833891

14

CD14 = 181, 41BA14 = 11336, 90157D14 = 4844251

15

3715 = 52, 4815 = 68, DE15 = 209, 27815 = 563, 28815 = 578, 478B15 = 15206, 8A9D15 = 29398, B77E15 = 38819

16

2616 = 38, 6A16 = 106, EF16 = 239, 3FEAC16 = 261804, A3EC5AF16 = 171885999

17

FG17 = 271, 13C0A17 = 101738, 3D47ED17 = 5367270, 2A3A71D17 = 62775454, 721CE9F17 = 171949388

18

GH18 = 305, 6GCE18 = 40406

19

4919 = 85, 5A19 = 105, HI19 = 341, 20919 = 731, 317C19 = 21083, 641FF19 = 810023, 205GAD19 = 4992472, 17IAGCD19 = 66798959, 24BC86E19 = 105515013

20

IJ20 = 379, 154A20 = 10090

 

A parte i casi banali di numeri di una sola cifra, non esiste invece alcun numero uguale alla somma di potenze con esponente descrescente, dal numero di cifre a 1, ossia numeri scritti come abcxyz e uguali a an + bn – 1 + cn – 2 + ... + x3 + y2 + z1, dove n è il numero di cifre. La semplice dimostrazione, valida per qualsiasi base, si basa sul fatto che in qualsiasi base ogni addendo è minore del valore della cifra corrispondente nel numero.

 

Tra le curiosità segnalo la categoria di numeri, ancora senza nome, uguali alla somma delle cifre, ciascuna elevata alla potenza indicata dalla cifra stessa. In altri termini sono i numeri scritti come abc... uguali a aa + bb + cc + .... A parte il caso banale 1, l’unico esempio in base 10 è 3435 = 33 + 44 + 33 + 55.

La tabella seguente riporta i numeri di questo genere inferiori a 109 nelle basi da 2 a 20 (M. Fiorentini, 2015); è escluso il caso banale di 1, valido in tutte le basi.

Base

Numeri uguali alla somma delle cifre ciascuna elevata alla potenza indicata dalla cifra stessa

2

-

3

123 = 5, 223 = 8

4

1304 = 28, 1314 = 29, 3134 = 55

5

1035 = 28, 20245 = 264

6

223526 = 3164, 234526 = 3416

7

134547 = 3665

8

4008 = 256, 4018 = 257

9

309 = 27, 319 = 28, 1562629 = 96446, 16470639 = 917139, 16565479 = 923362, 346640849 = 16871323

10

3435, 438579088

11

6650011 = 96437, 6650111 = 96438, 51750311 = 829821, 1845327811 = 34381388, 1845348711 = 34381640

12

-

13

3366013 = 93366, 3366113 = 93367

14

3114 = 23

15

-

16

-

17

3317 = 54

18

-

19

-

20

653420 = 50064

 

Sono anche state considerate potenze aventi per esponente potenze successive di 2. In altre parole si possono cercare i numeri uguali alla somma della prima cifra, più la seconda al quadrato, più la terza alla quarta e così via. Per esempio, 6603 = 61 + 62 + 04 + 38. In questo caso il teorema di Schwartz non vale e potrebbero esistere infinite soluzioni per qualche base, però lo ritengo improbabile.

Tutti i numeri di due sole cifre uguali alla somma delle cifre elevate a esponenti crescenti appartengono naturalmente alla categoria, quindi ne esiste almeno uno per ogni base maggiore di 2, oltre ai numeri di una sola cifra..

La tabella seguente riporta i numeri della categoria inferiori a 109 nelle basi da 2 a 20 (M. Fiorentini, 2015); sono esclusi i casi banali di numeri di una sola cifra.

Base

Numeri uguali alla somma delle cifre elevate a potenze aventi per esponente potenze successive di 2

2

-

3

123 = 5

4

234 = 11

5

345 = 19, 3235 = 88, 3335 = 93, 2023105 = 6580, 2023115 = 6581

6

456 = 29, 2236 = 87, 2436 = 99

7

137 = 10, 247 = 18, 567 = 41, 5347 = 270, 5447 = 277, 316307 = 7861, 316317 = 7862

8

678 = 55, 1338 = 91, 1538 = 107, 4048 = 260

9

789 = 71

10

89, 6603

11

2511 = 27, 3611 = 39, 9A11 = 109, 514311 = 6823, 75A011 = 10032, 75A111 = 10033

12

AB12 = 131

13

1413 = 17, 6913 = 87, BC13 = 155

14

CD14 = 181

15

3715 = 52, 4815 = 68, DE15 = 209

16

2616 = 38, 6A16 = 106, EF16 = 239, 51616 = 1302, 5F616 = 1526

17

FG17 = 271

18

GH18 = 305

19

4919 = 85, 5A19 = 105, HI19 = 341, 9AG019 = 65645, 9AG119 = 65646

20

IJ20 = 379, 60720 = 2407

 

Se gli esponenti sono potenze decrescenti di 2, stranamente si sconoscono numeri del genere solo in base 5 e 8; per esempio: 269 = 20345; = 28 + 04 + 32 + 41.

I pochi esempi noti sono riportati di seguito; se ve ne sono altri sono maggiori di 109 o la base è maggiore di 20 (M. Fiorentini, 2015):

  • 85 = 3205, 86 = 3215, 87 = 3225, 88 = 3235, 89 = 3245, 90 = 3305, 91 = 3315, 92 = 3325, 93 = 3335, 94 = 3345, 260 = 20205, 261 = 20215, 262 = 20225, 263 = 20235, 264 = 20245, 265 = 20305, 266 = 20315, 267 = 20325, 268 = 20335, 269 = 20345;

  • 256 = 4008, 257 = 4018, 258 = 4028, 259 = 4038, 260 = 4048, 261 = 4058, 262 = 4068, 263 = 4078.

 

Si può anche capovolgere, in un certo senso, la definizione, cercando interi k tali che la somma delle cifre di kn sia k. La tabella seguente riporta i minimi valori di k per n da 1 a 20, in base 10.

n

k

kn

1

1

k

2

9

81

3

8

512

4

7

2401

5

28

17210368

6

18

34012224

7

18

612220032

8

46

20047612231936

9

54

3904305912313344

10

82

13744803133596058624

11

98

8007313507497959524352

12

108

2518170116818978404827136

13

20

81920000000000000

14

91

2670419511272061205254504361

15

107

2759031540715333904109053133443

16

133

9585753470490322141591520062265281

17

80

225179981368524800000000000000000

18

172

17358494027033103736099033196316709617664

19

80

1441151880758558720000000000000000000

20

90

1215766545905692880100000000000000000000

R.K. Guy riferisce che esiste almeno un numero con questa proprietà per ogni valore di n sino a 104, ma non per n = 105.

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