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Artin (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Nel 1927 Emil Artin propose la strabiliante congettura che ogni intero diverso da 1 e –1 e non quadrato sia radice primitiva modulo infiniti primi.

 

Per dimostrare la congettura basterebbe dimostrare che è vera per i numeri primi, ossia che ogni numero primo è radice primitiva di infiniti altri primi.

 

Per vari decenni da quando venne enunciata non furono fatti progressi verso la sua dimostrazione, poi C. Hooley dimostrò nel 1967 che la congettura è corretta, se è vera una forma generale dell’ipotesi di Riemann.

 

Nel 1984 R. Gupta e M. Ram Murty dimostrarono che la congettura è vera per infiniti primi e Gupta dimostrò che se p, r e s sono primi distinti, almeno uno dei numeri ps2, p3r2, p2r, r3s2, r2s, p2s3, pr3, p3rs2, rs3, p2r3s, p3s, pr2s3, prs è radice primitiva di infiniti primi.

Due anni dopo R. Heath-Brown dimostrò che esistono al massimo due primi per i quali è falsa, ma sfortunatamente non sappiamo quali potrebbero essere. Pertanto, presi tre primi qualunque, per esempio 3, 5 e 7, sappiamo che è vera per almeno uno di essi, ma non esiste un singolo numero primo per il quale si possa affermare con certezza che valga.

 

Se si potesse dimostrare che i primi di Sophie Germain o quelli di Fermat sono infiniti, sapremmo che 2 o 3 sono radice primitiva di infiniti primi, ma al momento simili dimostrazioni non sembrano raggiungibili. La situazione, abbastanza curiosa, è quindi la seguente: sappiamo che infiniti numeri sono radice primitiva di infiniti primi, ma non ne possiamo indicare neppure uno!

 

Una versione più forte è che se n non è una potenza e dividendolo per tutti i quadrati dei quali è multiplo si ottiene un numero della forma 4k + 1, allora n è radice primitiva modulo una frazione dei primi che tende alla costante di Artin C.

 

Nel 1957 Derrick H. Lehmer e sua moglie Emma Lehmer calcolarono le radici primitive di un gran numero di primi e inviarono ad Artin i loro risultati, dai quali emergeva una certa differenza tra la previsione e i dati sperimentali. Seguì uno scambio di lettere e Artin corresse la versione forte della congettura, rimuovendo il fattore 1 – 1 / (n * (n – 1)) dal prodotto che definisce la costante di Artin, se n è un primo della forma 4a + 1.

 

In seguito Heilbronn modificò la formula per i numeri composti; nella versione di Heilbronn se n = rm2 = kh, con r non multiplo di quadrati, n è radice primitiva rispetto a una frazione dei primi che tende a:

  • Frazione asintotica dei primi rispetto ai quali n è radice primitiva, se r è della forma 4a + 1, che si riduce a Frazione asintotica dei primi rispetto ai quali n è radice primitiva, se n non è una potenza, a Frazione asintotica dei primi rispetto ai quali n è radice primitiva, se n è primo e a Frazione asintotica dei primi rispetto ai quali n è radice primitiva, se n = pq è il prodotto di due primi;

  • Frazione asintotica dei primi rispetto ai quali n è radice primitiva, se r non è della forma 4a + 1, che si riduce alla costante di Artin, se n non è una potenza.

La frazione si annulla se n è un quadrato.

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