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Sierpiński generalizzati (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Sierpiński generalizzati” in base b gli interi positivi k maggiori di 1 tali che:

  • b – 1 e k + 1 siano primi tra loro;

  • non esista un numero razionale r tale che br = k;

  • kbn + 1 sia composto per qualsiasi valore intero positivo di n.

I numeri di Sierpiński (II) corrispondono al caso b = 2.

 

La prima condizione serve a evitare che per qualsiasi n esista uno stesso divisore, perché se d divide b – 1 e k + 1, kbn + 1 ≡ (–1)1n + 1 = 0 mod d. La seconda esclude che k e b siano potenze di uno stesso intero m, perché in tal caso kbn + 1 diviene mq + 1, composto se q non è una potenza di 2 (v. numeri di Fermat generalizzati); va però detto che alcuni ricercatori sostituiscono a questa altre condizioni che eliminano scomposizioni elementari.

 

Per dimostrare che un intero è un numero di Sierpiński generalizzato si cerca, come nel caso dei numeri di Sierpiński, un insieme S di primi tali che kbn + 1 sia divisibile per uno di essi, per qualsiasi valore di n.

Se l’insieme S permette di dimostrare che k è un numero di Sierpiński generalizzato in base b, lo stesso insieme permette anche di dimostrare che k’ è un numero di Sierpiński generalizzato in base b’, se k’ ≡ k mod P e b’ ≡ b mod P, dove P è il prodotto dei primi in S.

 

Questi numeri sono relativamente comuni: Amy Brunner, Chris K. Caldwell, Daniel Krywaruczekno e Chris Lownsdale dimostrarono che:

  • esistono infiniti numeri di Sierpiński generalizzati in ogni base;

  • se b non è un numero di Mersenne ed esistono almeno r numeri di Fermat generalizzati in base b b2n, divisibili per due primi distinti, esistono infiniti numeri dispari k tali che se t è un intero positivo non multiplo di 2r, kt è un numero di Sierpiński generalizzato in base b;

  • tutti gli interi fino a 3000 sono numeri di Sierpiński generalizzati per qualche base minore di 107, tranne 2, 3, 5, 7, 15, 31, 63, 65, 127, 255, 511, 1023 e 2047.

 

Krywaruczekno dimostrò poi che non esiste alcun insieme finito di primi che permetta di dimostrare che i numeri di Mersenne sono numeri di Sierpiński generalizzati in qualche base e risolse le eccezioni della precedente lista che non sono numeri di Mersenne:

  • 2 è un numero di Sierpiński generalizzato in base 1697906241008607249 (dimostrabile con l’insieme { 3, 5, 17, 257, 641, 65537, 6700417 });

  • 5 è un numero di Sierpiński generalizzato in base 140324348 (dimostrabile con l’insieme { 3, 13, 17, 313, 11489 });

  • 65 è un numero di Sierpiński generalizzato in base 19030688904264 (dimostrabile con l’insieme { 3, 17, 113, 2113, 8925313 }).

E’ quindi probabile che tutti gli interi positivi siano numeri di Sierpiński generalizzati per qualche base, anche se nel caso dei numeri di Mersenne non si conosce un modo semplice per dimostrarlo.

 

La tabella seguente mostra i minimi numeri di Sierpiński generalizzati noti nelle basi fino a 100; l’asterisco indica i numeri effettivamente dimostrati minimi per quella base (Amy Brunner, Chris K. Caldwell, Daniel Krywaruczekno e Chris Lownsdale).

Base

Minimo numero di Sierpiński generalizzato

2

78557

3

125050976086

4

66741

5

159986

6

174308

7

1112646039348

8

1, 47*

9

2344

10

9175

11

1490*

12

521

13

132*

14

4*

15

91218919470156

16

2500*

17

278

18

398

19

765174

20

8*

21

1002*

22

6694

23

182

24

30651

25

262638

26

221

27

8*

28

4554

29

4*

30

867

31

6360528

32

1, 10*

33

1854

34

6*

35

214018

36

1886*

37

2604

38

14*

39

166134

40

826477

41

8*

42

13372

43

2256

44

4*

45

53474

46

14992

47

8*

48

1219

49

2944

50

16*

51

183582

52

28674

53

1966

54

21*

55

2500

56

20*

57

1188

58

43071

59

4*

60

16957

61

15168

62

8*

63

3511808

64

51

65

10

66

21314443

67

18342

68

22

69

6*

70

11077

71

5917678826

72

731

73

1444

74

4*

75

4086

76

43*

77

14*

78

186123

79

2212516

80

1039

81

2500

82

19587

83

8*

84

16*

85

346334170

86

28

87

274

88

4093

89

4*

90

27*

91

89586

92

32*

93

24394

94

39*

95

41354

96

353081

97

15996

98

10*

99

684

100

2469

 

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