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Policubi (numero di)

Geometria  Matematica combinatoria  Vari 

Si chiamano “policubi” le figure formate da cubi identici, uniti per le facce; sono gli analoghi tridimensionali dei polimini.

Sono da lungo tempo alla base di numerosi problemi di costruzione e scomposizione, ma hanno anche posto difficili problemi di matematica combinatoria.

 

La figura seguente mostra i policubi formati da fino a 4 cubi.

I policubi formati da fino a 4 cubi

 

La tabella seguente mostra il numero di policubi, in generale, chirali, cioè considerando distinte le immagini speculari, e orientati, cioè contando separatamente le immagini speculari e le rotazioni, se non coincidenti, per i primi numeri di cubi (Gadi Aleksandrowicz, G. Barequet, J.H. Conway, Achim Flammenkamp, Herman Jamke, S. Luther, S. Mertens, Brendan Owen e N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Cubi

Generici

Chirali

Orientati

1

1

0

1

2

1

0

3

3

2

0

15

4

8

1

86

5

29

6

534

6

166

54

3481

7

1023

416

23502

8

6922

3111

162913

9

48311

22898

1152870

10

346543

168460

8294738

11

2522522

1242985

60494549

12

18598427

9227333

446205905

13

138462649

68949103

3322769321

14

1039496297

518618196

24946773111

15

7859514470

3925228596

188625900446

16

59795121480

29879207817

1435074454755

17

 

 

10977812452428

18

 

 

84384157287999

19

 

 

651459315795897

 

L’idea si può generalizzare a dimensioni superiori. Le tabelle seguenti mostrano i primi numeri di policubi n-dimensionali, per n fino a 9 (Gadi Aleksandrowicz, G. Barequet, S. Luther, S. Mertens e N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Cubi

4 dimensioni

5 dimensioni

6 dimensioni

1

1

1

1

2

4

5

6

3

28

45

66

4

234

495

901

5

2162

6095

13881

6

21272

80617

231008

7

218740

1121075

4057660

8

2323730

16177405

74174927

9

25314097

240196280

1398295989

10

281345096

3648115531

27012396022

11

3178474308

56440473990

532327974882

12

36400646766

886696345225

10665521789203

13

421693622520

14111836458890

227093585071305

14

4933625049464

227093585071305

4455636282185802

15

58216226287844

3689707621144614

92567760074841818

16

692095652493483

 

 

Cubi

7 dimensioni

8 dimensioni

9 dimensioni

1

1

1

1

2

7

8

9

3

91

120

153

4

1484

2276

3309

5

27468

49204

81837

6

551313

1156688

2205489

7

11710328

28831384

63113061

8

259379101

750455268

1887993993

9

5933702467

20196669078

58441956579

10

139272913892

558157620384

1858846428437

11

3338026689018

15762232227968

60445700665383

12

81406063278113

453181069339660

2001985304489169

13

2014611366114053

 

 

14

50486299825273271

 

 

 

Vedi anche

Numero di polimini.

Bibliografia

  • Aleksandrowicz, G.;  Barequet, G.;  "Counting d-dimensional polycubes and nonrectangular planar polyominoes" in International Journal of Computational Geometry and Applications, n. 19, 2009, pag. 215 – 229.
  • Gardner, Martin;  The Colossal Book of Mathematics, New York, W.W. Norton & Company, 2001.
  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Luther, S.;  Mertens, S.;  "Counting lattice animals in high dimensions" in Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, n. 9, 2011, pag. 546 – 565.

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