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Harary – Read (numeri di)

Geometria  Matematica combinatoria  Vari 

Si chiamano “numeri di Harary – Read” i numeri di figure, non necessariamente planari, composte da esagoni uniti per un lato, tali che non ve ne siano 3 con un vertice in comune, dette anche “catafuseni”.

I catafuseni sono importanti perché corrispondono agli scheletri di possibili molecole formate da anelli esagonali di carbonio.

 

La figura seguente mostra i catafuseni formati da fino a 3 esagoni.

 

I catafuseni formati da fino a 3 esagoni

 

 

Rispetto ai polihex manca la figura seguente, nella quale tre esagoni hanno un vertice in comune.

 

Un polihex che non è un catafusene

 

 

Il fatto che non siano semplicemente un sottoinsieme dei polihex deriva dal fatto che possono non essere planari e si vede a partire da 6 esagoni, in figure come la seguente, che rappresenta un polihex formato da 6 esagoni, ma due catafuseni differenti, uno uguale al polihex, mentre nell’altro bisogna immaginare gli esagoni A e B non connessi fra loro, come se l’anello s’avvolgesse in modo elicoidale. In questo caso un settimo esagono potrebbe essere connesso a B e finire “al piano sopra” rispetto ad A.

 

Figura che rappresenta un polihex, ma due catafuseni

 

 

Il nome deriva da un articolo pubblicato nel 1970 da Frank Harary e R.C. Read nel quale i due studiosi dimostrarono che la funzione generatrice dei numeri di catafuseni è Funzione generatrice del numero di catafuseni.

Per i catafuseni planari non si conosce invece né la funzione generatrice, né un modo semplice per calcolarne il numero.

 

La tabella seguente mostra i numeri di catafuseni Hn per n fino a 20 e i numeri di catafuseni planari per n fino a 11 (T.D. Noe e N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Numero di catafuseni formati da n esagoni

Numero di catafuseni planari formati da n esagoni

1

1

1

2

1

1

3

2

2

4

5

5

5

12

12

6

37

36

7

123

118

8

446

411

9

1689

1489

10

6693

5572

11

27034

21115

12

111630

 

13

467262

 

14

1981353

 

15

8487400

 

16

36695369

 

17

159918120

 

18

701957539

 

19

3101072051

 

20

13779935438

 

 

Al crescere di n il numero di catafuseni tende a Limite cui tende il numero di catafuseni.

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