φk(n) è la somma delle k-esime potenze degli interi positivi minori di n e primi rispetto a esso. Per esempio, φ3(12) = 13 + 53 + 73 + 113 = 1800.
Quindi φ(n) = φ0(n).
Per convenzione si conta sempre l’unità, pertanto φk(1) = φk(2) = 1 per qualsiasi valore di k.
La funzione fu introdotta nel 1850 da A. Thacker, che dimostrò anche la seguente formula per calcolarla: 
, per n > 1, dove Bn è l’n-esimo numero di Bernoulli e il prodotto va calcolato sui fattori primi distinti di n.
Per i primi valori di k la formula può anche essere espressa in modo più compatto, sempre per n > 1: 
(Crelle, 1845), 
, 
, (Brennecke 1855).
Cauchy notò nel 1940 che φ1(n) è un multiplo di n per n > 2. In generale φk(n) è un multiplo di n per n > 2, se k è dispari.
J. Liouville dimostrò nel 1856 che 
.
Romeo Meštrović dimostrò nel 2013 che 
, per n > 1.
Le tabelle seguenti riportano i valori di φk(n) per n fino a 20 e k fino a 10.
|
n |
φ1(n) |
φ2(n) |
φ3(n) |
φ4(n) |
φ5(n) |
φ6(n) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
3 |
5 |
9 |
17 |
33 |
65 |
|
4 |
4 |
10 |
28 |
82 |
244 |
730 |
|
5 |
10 |
30 |
100 |
354 |
1300 |
4890 |
|
6 |
6 |
26 |
126 |
626 |
3126 |
15626 |
|
7 |
21 |
91 |
441 |
2275 |
12201 |
67171 |
|
8 |
16 |
84 |
496 |
3108 |
20176 |
134004 |
|
9 |
27 |
159 |
1053 |
7395 |
53757 |
399579 |
|
10 |
20 |
140 |
1100 |
9044 |
76100 |
649820 |
|
11 |
55 |
385 |
3025 |
25333 |
220825 |
1978405 |
|
12 |
24 |
196 |
1800 |
17668 |
180984 |
1904836 |
|
13 |
78 |
650 |
6084 |
60710 |
630708 |
6735950 |
|
14 |
42 |
406 |
4410 |
50470 |
594762 |
7146166 |
|
15 |
60 |
620 |
7200 |
88388 |
1120800 |
14511860 |
|
16 |
64 |
680 |
8128 |
103496 |
1370944 |
18654440 |
|
17 |
136 |
1496 |
18496 |
243848 |
3347776 |
47260136 |
|
18 |
54 |
654 |
8910 |
129750 |
1972134 |
30869214 |
|
19 |
171 |
2109 |
29241 |
432345 |
6657201 |
105409929 |
|
20 |
80 |
1080 |
16400 |
266088 |
4504400 |
78431640 |
|
n |
φ7(n) |
φ8(n) |
φ9(n) |
φ10(n) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
129 |
257 |
513 |
1025 |
|
4 |
2188 |
6562 |
19684 |
59050 |
|
5 |
18700 |
72354 |
282340 |
1108650 |
|
6 |
78126 |
390626 |
1953126 |
9765626 |
|
7 |
376761 |
2142595 |
12313161 |
71340451 |
|
8 |
903856 |
6161988 |
42326416 |
292299924 |
|
9 |
3015333 |
22998435 |
176787117 |
1367032299 |
|
10 |
5608700 |
48818084 |
427793780 |
3769318700 |
|
11 |
18080425 |
167731333 |
1574304985 |
14914341925 |
|
12 |
20388840 |
220514308 |
2400254424 |
26229665476 |
|
13 |
73399404 |
812071910 |
9092033028 |
102769130750 |
|
14 |
87098970 |
1073533510 |
13351840362 |
167292525526 |
|
15 |
190586400 |
2528486468 |
33798327840 |
454407838100 |
|
16 |
258781888 |
3642188936 |
51835553344 |
744225391400 |
|
17 |
680856256 |
9961449608 |
147520415296 |
2206044295976 |
|
18 |
493476030 |
8012002470 |
131592630294 |
2180082057774 |
|
19 |
1703414961 |
27957167625 |
464467582161 |
7792505423049 |
|
20 |
1392054800 |
25038228168 |
454665815120 |
8314625393400 |