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φk(n)

Funzioni 

φk(n) è la somma delle k-esime potenze degli interi positivi minori di n e primi rispetto a esso. Per esempio, φ3(12) = 13 + 53 + 73 + 113 = 1800.

Quindi φ(n) = φ0(n).

Per convenzione si conta sempre l’unità, pertanto φk(1) = φk(2) = 1 per qualsiasi valore di k.

 

La funzione fu introdotta nel 1850 da A. Thacker, che dimostrò anche la seguente formula per calcolarla: Formula per il calcolo della funzione φk, per n > 1, dove Bn è l’n-esimo numero di Bernoulli e il prodotto va calcolato sui fattori primi distinti di n.

Per i primi valori di k la formula può anche essere espressa in modo più compatto, sempre per n > 1: Formula per il calcolo della funzione φ1 (Crelle, 1845), Formula per il calcolo della funzione φ2, Formula per il calcolo della funzione φ3 , (Brennecke 1855).

 

Cauchy notò nel 1940 che φ1(n) è un multiplo di n per n > 2. In generale φk(n) è un multiplo di n per n > 2, se k è dispari.

 

J. Liouville dimostrò nel 1856 che Formula che coinvolge la funzione φk.

 

Romeo Meštrović dimostrò nel 2013 che Formula che coinvolge la funzione φk , per n > 1.

 

Le tabelle seguenti riportano i valori di φk(n) per n fino a 20 e k fino a 10.

n

φ1(n)

φ2(n)

φ3(n)

φ4(n)

φ5(n)

φ6(n)

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

3

3

5

9

17

33

65

4

4

10

28

82

244

730

5

10

30

100

354

1300

4890

6

6

26

126

626

3126

15626

7

21

91

441

2275

12201

67171

8

16

84

496

3108

20176

134004

9

27

159

1053

7395

53757

399579

10

20

140

1100

9044

76100

649820

11

55

385

3025

25333

220825

1978405

12

24

196

1800

17668

180984

1904836

13

78

650

6084

60710

630708

6735950

14

42

406

4410

50470

594762

7146166

15

60

620

7200

88388

1120800

14511860

16

64

680

8128

103496

1370944

18654440

17

136

1496

18496

243848

3347776

47260136

18

54

654

8910

129750

1972134

30869214

19

171

2109

29241

432345

6657201

105409929

20

80

1080

16400

266088

4504400

78431640

n

φ7(n)

φ8(n)

φ9(n)

φ10(n)

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

3

129

257

513

1025

4

2188

6562

19684

59050

5

18700

72354

282340

1108650

6

78126

390626

1953126

9765626

7

376761

2142595

12313161

71340451

8

903856

6161988

42326416

292299924

9

3015333

22998435

176787117

1367032299

10

5608700

48818084

427793780

3769318700

11

18080425

167731333

1574304985

14914341925

12

20388840

220514308

2400254424

26229665476

13

73399404

812071910

9092033028

102769130750

14

87098970

1073533510

13351840362

167292525526

15

190586400

2528486468

33798327840

454407838100

16

258781888

3642188936

51835553344

744225391400

17

680856256

9961449608

147520415296

2206044295976

18

493476030

8012002470

131592630294

2180082057774

19

1703414961

27957167625

464467582161

7792505423049

20

1392054800

25038228168

454665815120

8314625393400

 

Vedi anche

φ.

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