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Multiperfetti non unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “multiperfetti non unitari” i numeri naturali n uguali a k volte la somma dei loro divisori non unitari, ossia uguali a k volte la somma dei divisori d tali che MCD(d, n / d) > 1, ovvero tali che n = kσ#(n). Per k = 1 abbiamo i numeri perfetti non unitari.

 

Nella definizione potrebbe sembrare equivalente richiedere che n divida σ#(n), ma in questo modo tutti i numeri naturali non multipli di quadrati diventerebbero banalmente multiperfetti non unitari, perché per essi σ(n) = σ*(n) e σ#(n) = 0.

 

Steve Ligh e Charlses R. Wall trovarono nel 1985 i primi numeri multiperfetti non unitari.

 

La tabella seguente riporta i numeri multiperfetti non unitari noti, per k > 1 (Dean Hickerson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

k

Numeri multiperfetti

2

2520, 31320, 1163160, 2208384, 3053232, 6535296, 13472928, 123165600, 365959296, 4401782352, 5517818880, 612014161920, 2846972800010800140288

3

186076800, 3456573120, 18924364800, 325377803520, 2666567816640, 8538872307840, 11169839116800

4

1081895452249824576000

 

Dean Hickerson stabilì nel 2001 che:

  • per k = 2 non ve ne sono altri minori di 7.9 • 1012;

  • per k = 3 non ve ne sono altri minori di 1.6 • 1013;

  • per k = 4 non ve ne sono altri minori di 4.5 • 1014.

 

Non si conoscono numeri multiperfetti non unitari con k maggiore di 4; se ve ne sono, sono maggiori di 109 (M. Fiorentini, 2015).

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