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Amichevoli non unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “amichevoli non unitari” i numeri naturali che formano coppie m e n tali che la somma dei divisori non unitari dell’uno sia uguale all’altro, cioè le coppie di numeri naturali m e n tali che σ#(m) = n e σ#(n) = m.

 

Le coppie di numeri amichevoli non unitari inferiori a 109 sono (M. Fiorentini, 2015):

(48, 56);

(192, 248);

(252, 328);

(448, 496);

(768, 1016);

(1792, 2032);

(3240, 6462);

(7936, 8128);

(11616, 17412);

(11808, 20538);

(49152, 65528);

(114688, 131056);

(507904, 524224);

(786432, 1048568);

(1835008, 2097136);

(2080768, 2096896);

(3145728, 4194296);

(7340032, 8388592);

(8126464, 8388544);

(32505856, 33554368);

(33292288, 33554176);

(133169152, 134217472).

 

Steve Ligh e Charlses R. Wall dimostrarono nel 1985 che se 2p – 1 e 2q – 1 sono primi, n = 2q + 1(2p – 1) e m = 2p + 1(2q – 1) sono amichevoli non unitari. Infatti, σ#(n) = σ(n) – σ*(n) = (2q + 2 – 1)2p – (2q + 1 + 1)2p = 2p(2q + 1 – 2) = 2p + 1(2q – 1) = m e analogamente σ#(m) = n.

Esiste quindi una coppia di numeri amichevoli non unitari per ogni coppia di primi di Mersenne, mentre le coppie note non ottenibili in questo modo sono solo 4:

(252, 328);

(3240, 6462);

(11616, 17412);

(11808, 20538).

 

In tutte le coppie note i numeri sono entrambi pari; non è noto se possano esistere coppie con uno o due numeri dispari.

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