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Perfetti non unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “perfetti non unitari” i numeri naturali n uguali alla somma dei loro divisori non unitari, ossia uguali alla somma dei divisori d tali che MCD(d, n / d) > 1, ovvero tali che n = σ#(n). La definizione esclude 1 e n dalla somma.

Per esempio, 24 è perfetto non unitario, perché i divisori non unitari di 24 sono 2, 4, 6 e 12 e 24 = 2 + 4 + 6 + 12.

 

I primi numeri perfetti non unitari sono: 24, 112, 1984, 32512, 134201344, 34359476224, 549754765312.

 

Steve Ligh e Charlses R. Wall dimostrarono nel 1985 che se n è un numero perfetto pari, 4n è perfetto non unitario. Infatti, se n = 2p – 1(2p – 1) è perfetto, con 2p – 1 primo di Mersenne, σ#(4n) = σ(4n) – σ*(4n) = (2p + 2 – 1)2p – (2p + 1 + 1)2p = 2p(2p + 1 – 2) = 2p + 1(2p – 1) = 4n.

I due matematici supposero che tutti i numeri perfetti non unitari siano di questa forma (v. congettura dei numeri perfetti non unitari).

 

Non si conoscono numeri perfetti non unitari dispari. Come nel caso dei numeri perfetti si conoscono infiniti numeri abbondanti, esistono infiniti numeri dispari maggiori della somma dei divisori non unitari; in particolare James A. Sellers dimostrò nel 1997 che:

  • se n = 3a5b7cm con a ≥ 3, b ≥ 2, c ≥ 2, m dispari e non multiplo di 3, 5 o 7 (quindi anche uguale a 1), n è maggiore della somma dei divisori non unitari;

  • il minimo numero dispari maggiore della somma dei divisori non unitari è 33075.

 

Non esiste un motivo ovvio per il quale non possano esistere numeri perfetti non unitari dispari, tuttavia gli esperti sono propensi a credere che non esistano.

 

P. Hagis Jr. dimostrò nel 1990 che se ne esiste uno:

  • è maggiore di 1015;

  • ha almeno 4 fattori primi, non necessariamente distinti;

  • se non è multiplo di 3, ha almeno 7 fattori primi, non necessariamente distinti.

 

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