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Oppenheim (congettura di)

Algebra  Congetture 

Alexander Oppenheim (Salford, Regno Unito, 4/2/1903 – Henley-on-Thames, Regno Unito, 13/12/1997) avanzò nel 1929 la congettura che una forma quadratica irrazionale indefinita in 5 o più variabili, non multipla di polinomi di primo grado, assuma anche valori arbitrariamente vicini a zero, per opportuni valori interi non tutti nulli delle variabili.

Una forma quadratica irrazionale è un polinomio omogeneo di secondo grado, che non sia un multiplo di un polinomio con coefficienti razionali.

Una forma quadratica si dice “indefinita” se assume valori sia positivi che negativi, per opportuni valori delle variabili.

 

Nel 1946 Davenport rafforzò la congettura, riducendo le variabili a 3.

 

Oppenheim rafforzò ulteriormente la congettura, asserendo che per valori interi delle variabili la forma quadratica assume valori arbitrariamente vicini a zero, ma non nulli; si può dimostrare che questa forma equivale all’affermazione che i valori del polinomio per valori interi delle variabili sono densi tra i numeri reali.

 

Nel 1956 Davenport dimostrò che la congettura è vera se le variabili sono almeno 74. Il numero di variabili necessarie fu poi progressivamente ridotto da vari matematici sino a 9.

 

Finalmente nel 1987 Grigory A. Margulis dimostrò che la congettura è vera per 3 o più variabili.

 

Il numero di variabili non può essere ridotto a 2, perché se a è un numero irrazionale di secondo grado, vale |a – p / q| ≥ C / q^2 per una costante positiva C e qualsiasi coppia di interi p e q, quindi per il polinomio P(x, y) = y2ax2 se x e y sono interi, Diseguaglianza che mostra che il valore assoluto del polinomio non scende al di sotto di C|a|.

 

S.G. Dani e Margulis dimostrarono nel 1990 che se P(x1, x2, x3) è una forma quadratica in tre variabili e L(x1, x2, x3) è un polinomio di primo grado nelle stesse tre variabili, tutte le combinazioni lineari di P e L2 sono irrazionali e la retta L = 0 è tangente alla superficie P = 0, l’insieme dei punti (P(x1, x2, x3), L(x1, x2, x3)) è denso in ℝ2.

Lo stesso Dani dimostrò nel 2000 che esistono controesempi se la retta interseca la superficie.

 

Alexander Gorodnik dimostrò che, con la condizione aggiuntiva che P assuma sia valori positivi che negativi per i valori delle variabili tali che L = 0, l’affermazione vale anche nel caso di 4 o più variabili.

La condizione aggiuntiva implica che retta L = 0 intersechi la superficie P = 0, ma non sia tangente, quindi il teorema non può valere per polinomi in 3 variabili.

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