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Lucas (numeri di) (I)

Sequenze  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà legate ai divisori
  3. 3. Altre proprietà
  4. 4. Formule per i numeri di Lucas
  5. 5. Formule per somme di numeri di Lucas
  6. 6. Formule per prodotti e potenze di numeri di Lucas
  7. 7. Serie finite con numeri di Lucas
  8. 8. Serie infinite con numeri di Lucas
  9. 9. Serie con reciproci dei numeri di Lucas
  10. 10. Altre formule
  11. 11. Valori

I numeri di Lucas sono così chiamati in onore di François Édouard Anatole Lucas (Amiens, Francia, 4/4/1842 – Parigi, 3/10/1891), perché il matematico francese sviluppò un metodo per stabilire se un numero di Mersenne è primo, basato su questi numeri.

Tramite il suo metodo Lucas dimostrò in particolare che 2127 – 1 è primo, dopo 19 anni di lavoro. Probabilmente questo resterà per sempre il più grande numero dimostrato primo a mano.

 

Basandosi sui numeri di Lucas, lo stesso matematico francese, Lehmer e altri svilupparono e raffinarono metodi per decidere se un intero n è primo, quando si conosce almeno parte della scomposizione in fattori primi di n + 1. Chiaramente questi metodi sono estremamente efficaci per numeri costruiti in modo tale che la scomposizione di n + 1 sia nota a priori, come i numeri di Mersenne e, in effetti, dalla metà del XIX secolo il record per il massimo primo noto è stato sempre detenuto da numeri di Mersenne, dimostrati primi in questo modo.

Williams nel 1982 sviluppò un test relativamente semplice, valido per qualsiasi intero della forma kb2n + hbn – 1.

 

L’n-esimo numero di Lucas è comunemente indicato come Ln.

 

I numeri di Lucas sono definiti da una ricorrenza analoga a quella dei numeri di Fibonacci, ai quali sono strettamente legati: L0 = 2, L1 = 1 e Ln = Ln – 1 + Ln – 2.

La definizione ricorsiva può anche essere utilizzata all’indietro, definendo numeri di Lucas con indice negativo; per questi vale Ln = (–1)nLn.

 

La definizione può anche essere estesa a indici reali, definendo Formula per la definizione di numeri di Lucas con indice reale (vedi funzione Fx); in questo modo il valore di Lx coincide con la definizione consueta per x intero e preserva la proprietà Lx = Lx – 1 + Lx – 2.

 

Il numero di permutazioni dei primi n interi, tali che ogni numero sia al massimo a un posto di distanza dalla sua posizione nella sequenza naturale, considerando la sequenza ciclica con l’ultimo numero adiacente al primo, è Ln + 2. Per esempio, per n = 4 vi sono L4 + 2 = 9 permutazioni del genere: { 1, 2, 3, 4 }, { 1, 2, 4, 3 }, { 1, 3, 2, 4 }, { 2, 1, 3, 4 }, { 2, 1, 4, 3 }, { 2, 3, 4, 1 }, { 4, 1, 2, 3 } { 4, 2, 3, 1 } e { 4, 3, 2, 1 }.

 

Si può formare un sottoinsieme degli interi da 1 a n, considerati ciclicamente, con n seguito da 1, senza prenderne due consecutivi in Ln modi diversi. Per esempio, per n = 4 vi sono L4 = 7 sottoinsiemi del genere: { }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 1, 3 }, { 2, 4 }.

 

La complessità di un grafo è il numero di alberi distinti che possono essere ottenuti cancellando archi in modo da non lasciare cicli, ma mantenendo un cammino tra ogni coppia di nodi.

Un grafo a “ruota” di ordine n è un grafo nel quale i nodi sono uno al centro e i restanti ai vertici di un poligono di n lati e i vertici sul perimetro sono connessi ciascuno ai due adiacenti e a quello centrale; in un grafo siffatto la complessità è L2n – 2 (J. Sedlacek, 1969), ovvero Complessità di un grafo a ruota di ordine n pari, se n è pari, e Complessità di un grafo a ruota di ordine n dispari, se n è dispari.

Tabelle numeriche

I numeri di Lucas sino a L1000.

Bibliografia

  • Bicknell, Majorie;  Hoggatt, Verner E. Jr.;  Fibonacci’s Problem Book, The Fibonacci Association, 1974 -

    Una miniera di problemi e relazioni interessanti, che coinvolgono i numeri di Fibonacci e di Lucas.

  • Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
  • Finkelstein, R.;  London, H.;  "On Fibonacci and Lucas numbers that are perfect powers" in Fibonacci Quarterly, n. 7, 1969.
  • Gardner, Martin;  Mathematical Circus, New York, Alfred A. Knopf, ristampato New York, Vintage Books, 1981, 1979.
  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.
  • Vajda, Steven;  Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section, Mineola, New York, Dover, 2008.

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