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Schizofrenici (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Sono chiamati “schizofrenici” i numeri irrazionali che “si comportano” da razionali, almeno per un po’, ossia sembrano mostrare più volte un comportamento periodico delle cifre, almeno fino a un certo punto.

 

Secondo Clifford A. Pickover i primi esempi furono costruiti da Kevin Brown, come risposta a commenti apparsi sulla rete, nel quali alcuni asserivano che fosse estremamente improbabile che la rappresentazione decimale di un numero irrazionale iniziasse con una sequenza periodica lunga un centinaio di cifre.

In realtà numeri del genere possono essere costruiti con formule tipo a + 10rb, con a razionale, preferibilmente con periodo corto, r intero grande e b irrazionale. Per esempio, la rappresentazione decimale di Numero la cui rappresentazione decimale inizia con 999 cifre 3 inizia con 999 cifre uguali a 3. In modo simile si possono costruire numeri irrazionali la cui rappresentazione decimale inizia con vari lunghi blocchi di cifre periodiche, ma il metodo di Brown è sorprendentemente semplice e più elegante: definita la ricorrenza a0 = 0, an = 10an – 1 + n, la radice quadrata degli elementi con indice dispari contiene all’inizio lunghe sequenze di cifre identiche. Per esempio, sqrt(a(101)) vale circa 111111111111111111111111111111111111111111111111111.1111111111111111111111111111111111111111111111110600555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555438255416666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666612767252847222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222191263746409678819444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444424528856954235273437499999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999986273181322373328883463541666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666656754923094371808215447591145833333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333325932358304695416213538689880371093749999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999994332086623901461805757268888939751519097222222222222222222222222222222222222222222222222222222222217794731688482849111789512814817509121365017361111111111111111111111111111111111111111111111111111107597092374310056843780859340079579499562581380208333333333333333333333333333333333333333333333333330507623016603185570616394627952602976196871863471137152777777777777777777777777777777777777777777775480583971442195729295164954099604794747262928220960828993055555555555555555555555555555555555555553670625994821269928273840211841054688229624174535274505615234374999999999999999999999999999999999998440974760316672357675293239213736332634722154758125543594360351562499999999999999999999999999999998701575573037488593887632503696415218782749379576837620697915554046630859374999999999999999999999998912034897066618016213669482288446269644169031610721381648909300565719604492187499999999999999999999083480064537203460491998733037825278319408728379398537257402009951571623484293619791666666666666665890880779188749543159433488986710089749397765306754928532043920616464068492253621419270833333333332673857145035542934567922089817044246210385972009806362538543902484707359690219163894653320312499999437231284171878436139259419550778162581581991019130234279617904975104678063265358408292134602864582851411459613156233226314143998191751240411238779010790092917947914173541623010047866652409235636392815164347453618004385599768732823407980449222960076146205112432196907156035865682497387751936912536264404876853007761903468300748873167438155783656540604714842179864647821622150527076655635028146207024481834027614285197930126284921574423125255269539166788963565497874667.

Come si vede, le lunghe sequenze di cifre identiche potrebbero far pensare a un numero razionale, ma vanno riducendosi, per essere poi sommerse dal disordine che rivela l’irrazionalità del numero.

 

La tabella seguente mostra i valori di an per n fino a 20.

n

an

0

0

1

1

2

12

3

123

4

1234

5

12345

6

123456

7

1234567

8

12345678

9

123456789

10

1234567900

11

12345679011

12

123456790122

13

1234567901233

14

12345679012344

15

123456790123455

16

1234567901234566

17

12345679012345677

18

123456790123456788

19

1234567901234567899

20

12345679012345679010

 

Lo stesso Brown spiegò la proprietà apparentemente stravagante di questi numeri: la sequenza può essere calcolata tramite la formula Formula per il calcolo della sequenza, pertanto Formula per il calcolo degli elementi di indice dispari della sequenza e quindi Formula per il calcolo della radice quadrata degli elementi di indice dispari della sequenza. I primi termini della serie sono Primi termini della serie e ciascuno si rappresenta in base 10 come una lunga sequenza di zeri, seguita da un numero finito di cifre, perché i denominatori sono prodotti di potenze di 2 e potenze di 10; moltiplicando questi termini per 10^9 / 9, ossia per una sequenza infinita di cifre 1, si ottengono sequenze periodiche, che si sovrappongono parzialmente nella somma e producono l’effetto descritto.

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