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Semi-Zumkeller (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri semi-Zumkeller” i numeri naturali, tali che i loro divisori propri (ossia escludendo il numero stesso) possano essere suddivisi in due insiemi, tali che la somma dei membri dell’uno sia uguale alla somma dei membri dell’altro.

Per esempio, i divisori di 20 sono: 1, 2, 4, 5, 10 e 20 e 10 + 1 = 5 + 4 + 2.

 

Si dimostra facilmente che un numero naturale n è un numero semi-Zumkeller se e solo se (σ(n) – n) / 2 può essere espresso come somma di divisori propri distinti di n e un numero naturale pari n è un numero semi-Zumkeller se e solo se (σ(n) – 2 * n) / 2 può essere espresso come somma di divisori propri distinti di n, escludendo n / 2.

 

Un numero pari n è un numero semi-Zumkeller se e solo se è un numero di Zumkeller e suddividendo i suoi divisori in due insiemi aventi la stessa somma, nn / 2 stanno in insiemi diversi.

Si suppone che tutti i numeri di Zumkeller pari n siano numeri semi-Zumkeller, ma l’affermazione è stata dimostrata solo se σ(n) < 3n oppure se n è multiplo di 6 e σ(n) < 10 / 3 * n o se n ≤ 7233498900 (K.P.S. Bhaskara Rao e Yuejian Peng, 2009).

 

Un numero semi-Zumkeller dispari è un quadrato, pertanto nessun numero di Zumkeller dispari è un numero semi-Zumkeller.

 

Nel 2009 K.P.S. Bhaskara Rao e Yuejian Peng dimostrarono varie proprietà dei numeri semi-Zumkeller:

  • il prodotto di due numeri semi-Zumkeller primi tra loro è un numero semi-Zumkeller;

  • il doppio di un numero di Zumkeller è un numero semi-Zumkeller;

  • se n è un numero semi-Zumkeller pari e p è un primo che non divide n, npk è un numero di semi-Zumkeller;

  • se npm è un numero semi-Zumkeller pari e pm è la massima potenza di un primo p che divide n, npm + k(m + 1) è un numero semi-Zumkeller per ogni intero positivo k;

  • un numero pratico n è un numero semi-Zumkeller se e solo se σ(n) è pari;

  • se n è pratico e p è un primo che non divide n, se σ(n) è pari, npk è un numero semi-Zumkeller per ogni intero positivo k; se σ(n) è dispari, npk è un numero di Zumkeller se e solo se k è dispari e p ≤ σ(n);

  • se i divisori di n in ordine crescente sono d1, d2, … dm, dk + 1 ≤ 2dk per 0 < k < m e σ(n) è pari, n è un numero semi-Zumkeller.

 

Vedi anche

Numeri di Zumkeller.

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