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Semi-Zumkeller (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri semi-Zumkeller” i numeri naturali, tali che i loro divisori propri (ossia escludendo il numero stesso) possano essere suddivisi in due insiemi, tali che la somma dei membri dell’uno sia uguale alla somma dei membri dell’altro.

Per esempio, i divisori di 20 sono: 1, 2, 4, 5, 10 e 20 e 10 + 1 = 5 + 4 + 2.

 

Il minimo numero semi-Zumkeller è 6, il minimo dispari è 225.

 

I numeri semi-Zumkeller fino a 1000 sono: 6, 12, 20, 24, 28, 30, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 150, 156, 160, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 198, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 225, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, 272, 276, 280, 282, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 318, 320, 330, 336, 340, 342, 348, 350, 352, 354, 360, 364, 366, 368, 372, 378, 380, 384, 390, 396, 402, 408, 414, 416, 420, 426, 432, 438, 440, 441, 444, 448, 456, 460, 462, 464, 468, 474, 476, 480, 486, 490, 492, 496, 498, 500, 504, 510, 516, 520, 522, 528, 532, 534, 540, 544, 546, 550, 552, 558, 560, 564, 570, 572, 580, 582, 588, 594, 600, 606, 608, 612, 616, 618, 620, 624, 630, 636, 640, 642, 644, 650, 654, 660, 666, 672, 678, 680, 684, 690, 696, 700, 702, 704, 708, 714, 720, 726, 728, 732, 736, 740, 744, 750, 756, 760, 762, 768, 770, 780, 786, 792, 798, 804, 810, 812, 816, 820, 822, 828, 832, 834, 836, 840, 852, 858, 860, 864, 868, 870, 876, 880, 888, 894, 896, 906, 910, 912, 918, 920, 924, 928, 930, 936, 940, 942, 948, 952, 960, 966, 972, 978, 980, 984, 990, 992, 996.

Qui trovate i numeri semi-Zumkeller fino a 106 (1.7 MByte).

 

Si dimostra facilmente che un numero naturale n è un numero semi-Zumkeller se e solo se (σ(n) – n) / 2 può essere espresso come somma di divisori propri distinti di n e un numero naturale pari n è un numero semi-Zumkeller se e solo se (σ(n) – 2 * n) / 2 può essere espresso come somma di divisori propri distinti di n, escludendo n / 2.

 

Un numero pari n è un numero semi-Zumkeller se e solo se è un numero di Zumkeller e suddividendo i suoi divisori in due insiemi aventi la stessa somma, nn / 2 stanno in insiemi diversi.

Si suppone che tutti i numeri di Zumkeller pari n siano numeri semi-Zumkeller, ma l’affermazione è stata dimostrata solo se σ(n) < 3n oppure se n è multiplo di 6 e σ(n) < 10 / 3 * n o se n ≤ 7233498900 (K.P.S. Bhaskara Rao e Yuejian Peng, 2009).

 

Un numero semi-Zumkeller pari è perfetto o abbondante e non è né un quadrato, né il doppio di un quadrato.

 

Un numero semi-Zumkeller dispari è un quadrato, pertanto nessun numero di Zumkeller dispari è un numero semi-Zumkeller.

 

Nel 2009 K.P.S. Bhaskara Rao e Yuejian Peng dimostrarono varie proprietà dei numeri semi-Zumkeller:

  • il prodotto di due numeri semi-Zumkeller primi tra loro è un numero semi-Zumkeller;

  • il doppio di un numero di Zumkeller è un numero semi-Zumkeller;

  • se n è un numero semi-Zumkeller pari e p è un primo che non divide n, npk è un numero di semi-Zumkeller;

  • se npm è un numero semi-Zumkeller pari e pm è la massima potenza di un primo p che divide n, npm + k(m + 1) è un numero semi-Zumkeller per ogni intero positivo k;

  • un numero pratico n è un numero semi-Zumkeller se e solo se σ(n) è pari;

  • se n è pratico e p è un primo che non divide n, se σ(n) è pari, npk è un numero semi-Zumkeller per ogni intero positivo k; se σ(n) è dispari, npk è un numero di Zumkeller se e solo se k è dispari e p ≤ σ(n);

  • se i divisori di n in ordine crescente sono d1, d2, … dm, dk + 1 ≤ 2dk per 0 < k < m e σ(n) è pari, n è un numero semi-Zumkeller.

 

Se n è un numero semi-Zumkeller dispari e p è un primo che non divide n, non è detto che npk sia un numero semi-Zumkeller, neppure se k è pari: 225 = 3252 è un numero semi-Zumkeller, ma 40725 = 3252181 e 7371225 = 32521812 non lo sono.

Vedi anche

Numeri di Zumkeller.

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