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Zumkeller (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Zumkeller”, in onore di Reinhard Zumkeller che per primo investigò su di essi, i numeri naturali, tali che i loro divisori possano essere suddivisi in due insiemi che abbiano somma uguale. Per esempio, i divisori di 20 sono: 1, 2, 4, 5, 10 e 20 e 20 + 1 = 10 + 5 + 4 + 2 + 1.

 

I numeri di Zumkeller fino a 1000 sono: 6, 12, 20, 24, 28, 30, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 150, 156, 160, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 198, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, 272, 276, 280, 282, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 318, 320, 330, 336, 340, 342, 348, 350, 352, 354, 360, 364, 366, 368, 372, 378, 380, 384, 390, 396, 402, 408, 414, 416, 420, 426, 432, 438, 440, 444, 448, 456, 460, 462, 464, 468, 474, 476, 480, 486, 490, 492, 496, 498, 500, 504, 510, 516, 520, 522, 528, 532, 534, 540, 544, 546, 550, 552, 558, 560, 564, 570, 572, 580, 582, 588, 594, 600, 606, 608, 612, 616, 618, 620, 624, 630, 636, 640, 642, 644, 650, 654, 660, 666, 672, 678, 680, 684, 690, 696, 700, 702, 704, 708, 714, 720, 726, 728, 732, 736, 740, 744, 750, 756, 760, 762, 768, 770, 780, 786, 792, 798, 804, 810, 812, 816, 820, 822, 828, 832, 834, 836, 840, 852, 858, 860, 864, 868, 870, 876, 880, 888, 894, 896, 906, 910, 912, 918, 920, 924, 928, 930, 936, 940, 942, 945, 948, 952, 960, 966, 972, 978, 980, 984, 990, 992, 996.

Qui trovate i numeri di Zumkeller fino a 106 (1.7 MByte).

 

Se n è un numero di Zumkeller, σ(n) deve essere pari, quindi n non può essere un quadrato o il doppio di un quadrato (v. funzione σ).

 

Nessun numero deficiente n può essere un numero di Zumkeller, perché uno dei due insiemi dovrebbe contenere n, quindi la somma dei divisori dovrebbe essere almeno 2n, ma per i numeri deficienti σ(n) < 2n.

 

Tutti i numeri perfetti sono numeri di Zumkeller, perché uguali alla somma dei propri divisori, escluso il numero stesso; per esempio, i divisori di 28 sono: 1, 2, 4, 7, 14 e 28 e 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1.

 

Si dimostra facilmente che un numero naturale n è un numero di Zumkeller se e solo se (σ(n) – 2 * n) / 2 è zero o può essere espresso come somma di divisori distinti di n, escluso n stesso.

 

Se n è un numero di Zumkeller e p è un primo che non divide n, npk è un numero di Zumkeller per ogni intero positivo k (S. Clark, J. Dalzell, J. Holliday, D. Leach, M. Liatti, M. Walsh, 2008).

Se p è un primo dispari e p ≤ 2k + 1 – 1, 2kp è un numero di Zumkeller (S. Clark, J. Dalzell, J. Holliday, D. Leach, M. Liatti, M. Walsh, 2008).

 

Nel 2009 K.P.S. Bhaskara Rao e Yuejian Peng dimostrarono varie proprietà dei numeri di Zumkeller:

  • se npm è un numero di Zumkeller e p è un primo che non divide n, npm + k(m + 1) è un numero di Zumkeller per ogni intero positivo k;

  • se n non è un numero di Zumkeller, p è un primo che non divide n e npk è un numero di Zumkeller, p ≤ σ(n) e se σ(n) è dispari, k è dispari;

  • se i divisori di n in ordine crescente sono d1, d2, … dm, dk + 1 ≤ 2dk per 0 < k < m e σ(n) è pari, n è un numero di Zumkeller;

  • se n è pratico, n è un numero di Zumkeller se e solo se σ(n) è pari;

  • se n è pratico e p è un primo che non divide n, se σ(n) è pari, npk è un numero di Zumkeller per ogni intero positivo k; se σ(n) è dispari, npk è un numero di Zumkeller se e solo se k è dispari e p ≤ σ(n);

  • tutti i fattoriali maggiori di 2 sono numeri di Zumkeller;

  • un numero pari è un numero di Zumkeller se e solo se è un numero di semi-Zumkeller oppure (σ(n) – 3 * n) / 2 è zero o può essere espresso come somma di divisori distinti di n, escluso n stesso e n / 2;

  • se i fattori primi distinti di un numero di Zumkeller dispari sono p1, p2, … pn, Diseguaglianza soddisfatta dai fattori primi di un numero di Zumkeller;

  • se n è un numero di Zumkeller dispari, ha almeno 3 fattori primi distinti;

  • se n è un numero di Zumkeller dispari con 3 fattori primi distinti, due di essi sono 3 e 5 e il terzo è 7, 11 o 13;

  • se n è un numero di Zumkeller dispari con 4 fattori primi distinti, due di essi sono 3 e 5;

  • se n è un numero di Zumkeller dispari con non più di 6 fattori primi distinti, uno di essi è 3 e un altro è 5, 7, 11 o 13.

 

Tutti i numeri abbondanti dispari noti che non siano quadrati sono numeri di Zumkeller, la verifica è stata effettuata per tutti gli interi fino a 108 (T.D. Noe, 2010); non è però stato dimostrato che non possano esservi eccezioni.

Invece non tutti i numeri abbondanti pari che non siano quadrati sono numeri di Zumkeller; la minima eccezione è 18, che è abbondante, ma non di Zumkeller, perché 18 è il doppio di un quadrato e σ(18) = 39 è dispari.

 

Tutti i numeri di Zumkeller dispari non sono pratici, inoltre esistono numeri di Zumkeller pari, il minimo dei quali è 70, che non sono pratici.

 

Fino a un milione la differenza massima tra numeri di Zumkeller consecutivi è 12 e questo ha portato alla congettura che tra 12 numeri consecutivi almeno uno sia un numero di Zumkeller, dimostrata vera da Robert Gerbicz nel 2010.

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