Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Si dicono “a lungo periodo” i numeri primi p, tali che la rappresentazione di 1 / p abbia un periodo di p – 1 cifre, il massimo possibile. Per esempio, 7 è a lungo periodo, perché 1 / 7 ha un periodo di 6 cifre.

 

In qualsiasi base, la rappresentazione di 1 / p è finita, se la base è un multiplo di p, altrimenti è periodica con periodo che divide p – 1. Per esempio, in base 10, 1 / 37 ha un periodo di 3 cifre e 3 divide 36.

La lunghezza del periodo dipende dalla base di rappresentazione, così 1 / 7 ha periodo 6 in base 10, ma solo 3 in base 2.

 

La lunghezza massima del periodo è quindi p – 1 e si ha se e solo se la base è radice primitiva modulo p. Secondo la congettura di Artin ogni intero maggiore di 1 e non quadrato è radice primitiva modulo infiniti primi, quindi per ogni base che non sia un quadrato esisterebbero infiniti primi a lungo periodo.

 

Se n è radice primitiva modulo p, lo sono anche tutti i numeri della forma kp + n; per esempio, 10 è radice primitiva modulo 7, come tutti i numeri della forma 7k + 3, quindi 1 / 7 ha periodo di lunghezza 6 in tali basi.

 

Non si conosce alcun modo per individuare i primi a lungo periodo, se non esaminando un primo alla volta per calcolarne il periodo o verificare se la base è radice primitiva del primo.

 

La tabella seguente riporta i primi a lungo periodo inferiori a 1000 nelle basi fino a 20.

Base

Primi

2

3 = 112, 5 = 1012, 11 = 10112, 13 = 11012, 19 = 100112, 29 = 111012, 37 = 1001012, 53 = 1101012, 59 = 1110112, 61 = 1111012, 67 = 10000112, 83 = 10100112, 101 = 11001012, 107 = 11010112, 131 = 100000112, 139 = 100010112, 149 = 100101012, 163 = 101000112, 173 = 101011012, 179 = 101100112, 181 = 101101012, 197 = 110001012, 211 = 110100112, 227 = 111000112, 269 = 1000011012, 293 = 1001001012, 317 = 1001111012, 347 = 1010110112, 349 = 1010111012, 373 = 1011101012, 379 = 1011110112, 389 = 1100001012, 419 = 1101000112, 421 = 1101001012, 443 = 1101110112, 461 = 1110011012, 467 = 1110100112, 491 = 1111010112, 509 = 1111111012, 523 = 10000010112, 541 = 10000111012, 547 = 10001000112, 557 = 10001011012, 563 = 10001100112, 587 = 10010010112, 613 = 10011001012, 619 = 10011010112, 653 = 10100011012, 659 = 10100100112, 661 = 10100101012, 677 = 10101001012, 701 = 10101111012, 709 = 10110001012, 757 = 10111101012, 773 = 11000001012, 787 = 11000100112, 797 = 11000111012, 821 = 11001101012, 827 = 11001110112, 829 = 11001111012, 853 = 11010101012, 859 = 11010110112, 877 = 11011011012, 883 = 11011100112, 907 = 11100010112, 941 = 11101011012, 947 = 11101100112

3

2 = 23, 5 = 123, 7 = 213, 17 = 1223, 19 = 2013, 29 = 10023, 31 = 10113, 43 = 11213, 53 = 12223, 79 = 22213, 89 = 100223, 101 = 102023, 113 = 110123, 127 = 112013, 137 = 120023, 139 = 120113, 149 = 121123, 163 = 200013, 173 = 201023, 197 = 210223, 199 = 211013, 211 = 212113, 223 = 220213, 233 = 221223, 257 = 1001123, 269 = 1002223, 281 = 1011023, 283 = 1011113, 293 = 1012123, 317 = 1022023, 331 = 1100213, 353 = 1110023, 379 = 1120013, 389 = 1121023, 401 = 1122123, 449 = 1211223, 461 = 1220023, 463 = 1220113, 487 = 2000013, 509 = 2002123, 521 = 2010223, 557 = 2021223, 569 = 2100023, 571 = 2100113, 593 = 2102223, 607 = 2111113, 617 = 2112123, 631 = 2121013, 641 = 2122023, 653 = 2200123, 677 = 2210023, 691 = 2211213, 701 = 2212223, 739 = 10001013, 751 = 10002113, 773 = 10011223, 797 = 10021123, 809 = 10022223, 811 = 10100013, 821 = 10101023, 823 = 10101113, 857 = 10112023, 859 = 10112113, 881 = 10121223, 907 = 10201213, 929 = 10211023, 941 = 10212123, 953 = 10220223, 977 = 11000123

4

-

5

2 = 25, 3 = 35, 7 = 125, 17 = 325, 23 = 435, 37 = 1225, 43 = 1335, 47 = 1425, 53 = 2035, 73 = 2435, 83 = 3135, 97 = 3425, 103 = 4035, 107 = 4125, 113 = 4235, 137 = 10225, 157 = 11125, 167 = 11325, 173 = 11435, 193 = 12335, 197 = 12425, 223 = 13435, 227 = 14025, 233 = 14135, 257 = 20125, 263 = 20235, 277 = 21025, 283 = 21135, 293 = 21335, 307 = 22125, 317 = 22325, 347 = 23425, 353 = 24035, 373 = 24435, 383 = 30135, 397 = 30425, 433 = 32135, 443 = 32335, 463 = 33235, 467 = 33325, 503 = 40035, 523 = 40435, 547 = 41425, 557 = 42125, 563 = 42235, 577 = 43025, 587 = 43225, 593 = 43335, 607 = 44125, 613 = 44235, 617 = 44325, 647 = 100425, 653 = 101035, 673 = 101435, 677 = 102025, 683 = 102135, 727 = 104025, 743 = 104335, 757 = 110125, 773 = 110435, 787 = 111225, 797 = 111425, 857 = 114125, 863 = 114235, 877 = 120025, 887 = 120225, 907 = 121125, 937 = 122225, 947 = 122425, 953 = 123035, 967 = 123325, 977 = 124025, 983 = 124135

6

2 = 26, 3 = 36, 11 = 156, 13 = 216, 17 = 256, 41 = 1056, 59 = 1356, 61 = 1416, 79 = 2116, 83 = 2156, 89 = 2256, 103 = 2516, 107 = 2556, 109 = 3016, 113 = 3056, 127 = 3316, 131 = 3356, 137 = 3456, 151 = 4116, 157 = 4216, 179 = 4556, 199 = 5316, 223 = 10116, 227 = 10156, 229 = 10216, 233 = 10256, 251 = 10556, 257 = 11056, 271 = 11316, 277 = 11416, 347 = 13356, 367 = 14116, 373 = 14216, 397 = 15016, 401 = 15056, 419 = 15356, 443 = 20156, 449 = 20256, 467 = 20556, 487 = 21316, 491 = 21356, 521 = 22256, 563 = 23356, 569 = 23456, 587 = 24156, 593 = 24256, 613 = 25016, 641 = 25456, 659 = 30156, 661 = 30216, 683 = 30556, 709 = 31416, 733 = 32216, 757 = 33016, 761 = 33056, 809 = 34256, 823 = 34516, 827 = 34556, 829 = 35016, 853 = 35416, 857 = 35456, 881 = 40256, 929 = 41456, 947 = 42156, 953 = 42256, 967 = 42516, 971 = 42556, 977 = 43056, 991 = 43316

7

2 = 27, 5 = 57, 11 = 147, 13 = 167, 17 = 237, 23 = 327, 41 = 567, 61 = 1157, 67 = 1247, 71 = 1317, 79 = 1427, 89 = 1557, 97 = 1667, 101 = 2037, 107 = 2127, 127 = 2417, 151 = 3047, 163 = 3227, 173 = 3357, 179 = 3447, 211 = 4217, 229 = 4457, 239 = 4617, 241 = 4637, 257 = 5157, 263 = 5247, 269 = 5337, 293 = 5667, 347 = 10047, 349 = 10067, 359 = 10227, 379 = 10517, 397 = 11057, 431 = 11547, 433 = 11567, 443 = 12027, 461 = 12267, 491 = 13017, 499 = 13127, 509 = 13257, 521 = 13437, 547 = 14117, 577 = 14537, 593 = 15057, 599 = 15147, 601 = 15167, 631 = 15617, 659 = 16317, 677 = 16557, 683 = 16647, 733 = 20657, 739 = 21047, 743 = 21117, 761 = 21357, 773 = 21537, 797 = 22167, 823 = 22547, 827 = 22617, 857 = 23337, 863 = 23427, 907 = 24347, 919 = 24527, 929 = 24657, 937 = 25067, 941 = 25137, 967 = 25517, 991 = 26147, 997 = 26237

8

2 = 28, 3 = 38, 5 = 58, 11 = 138, 29 = 358, 53 = 658, 59 = 738, 83 = 1238, 101 = 1458, 107 = 1538, 131 = 2038, 149 = 2258, 173 = 2558, 179 = 2638, 197 = 3058, 227 = 3438, 269 = 4158, 293 = 4458, 317 = 4758, 347 = 5338, 389 = 6058, 419 = 6438, 443 = 6738, 461 = 7158, 467 = 7238, 491 = 7538, 509 = 7758, 557 = 10558, 563 = 10638, 587 = 11138, 653 = 12158, 659 = 12238, 677 = 12458, 701 = 12758, 773 = 14058, 797 = 14358, 821 = 14658, 827 = 14738, 941 = 16558, 947 = 16638

9

2 = 29

10

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983

11

2 = 211, 3 = 311, 13 = 1211, 17 = 1611, 23 = 2111, 29 = 2711, 31 = 2911, 41 = 3811, 47 = 4311, 59 = 5411, 67 = 6111, 71 = 6511, 73 = 6711, 101 = 9211, 103 = 9411, 109 = 9A11, 149 = 12611, 163 = 13911, 173 = 14811, 179 = 15311, 197 = 16A11, 223 = 19311, 233 = 1A211, 251 = 20911, 277 = 23211, 281 = 23611, 293 = 24711, 331 = 28111, 367 = 30411, 373 = 30A11, 383 = 31911, 419 = 35111, 443 = 37311, 461 = 38A11, 463 = 39111, 467 = 39511, 487 = 40311, 499 = 41411, 557 = 46711, 569 = 47811, 587 = 49411, 593 = 49A11, 599 = 4A511, 601 = 4A711, 613 = 50811, 619 = 51311, 643 = 53511, 647 = 53911, 673 = 56211, 677 = 56611, 683 = 57111, 701 = 58811, 719 = 5A411, 761 = 63211, 769 = 63A11, 809 = 67611, 821 = 68711, 839 = 6A311, 853 = 70611, 857 = 70A11, 863 = 71511, 883 = 73311, 937 = 78211, 941 = 78611, 947 = 79111, 953 = 79711, 971 = 80311, 983 = 81411, 991 = 82111, 997 = 82711, 1009 = 83811

12

5 = 512, 7 = 712, 17 = 1512, 31 = 2712, 41 = 3512, 43 = 3712, 53 = 4512, 67 = 5712, 101 = 8512, 103 = 8712, 113 = 9512, 127 = A712, 137 = B512, 139 = B712, 149 = 10512, 151 = 10712, 163 = 11712, 173 = 12512, 197 = 14512, 223 = 16712, 257 = 19512, 269 = 1A512, 281 = 1B512, 283 = 1B712, 293 = 20512, 317 = 22512, 353 = 25512, 367 = 26712, 379 = 27712, 389 = 28512, 401 = 29512, 449 = 31512, 461 = 32512, 509 = 36512, 523 = 37712, 547 = 39712, 557 = 3A512, 569 = 3B512, 571 = 3B712, 593 = 41512, 607 = 42712, 617 = 43512, 619 = 43712, 631 = 44712, 641 = 45512, 653 = 46512, 691 = 49712, 701 = 4A512, 739 = 51712, 751 = 52712, 761 = 53512, 773 = 54512, 787 = 55712, 797 = 56512, 809 = 57512, 821 = 58512, 857 = 5B512, 881 = 61512, 929 = 65512, 953 = 67512, 967 = 68712, 977 = 69512, 991 = 6A712

13

2 = 213, 5 = 513, 11 = B13, 19 = 1613, 31 = 2513, 37 = 2B13, 41 = 3213, 47 = 3813, 59 = 4713, 67 = 5213, 71 = 5613, 73 = 5813, 83 = 6513, 89 = 6B13, 97 = 7613, 109 = 8513, 137 = A713, 149 = B613, 151 = B813, 167 = CB13, 197 = 12213, 227 = 14613, 239 = 15513, 241 = 15713, 281 = 18813, 293 = 19713, 307 = 1A813, 317 = 1B513, 349 = 20B13, 353 = 21213, 359 = 21813, 379 = 23213, 383 = 23613, 397 = 24713, 401 = 24B13, 431 = 27213, 449 = 28713, 457 = 29213, 479 = 2AB13, 487 = 2B613, 509 = 30213, 541 = 32813, 557 = 33B13, 577 = 35513, 587 = 36213, 593 = 36813, 613 = 38213, 617 = 38613, 631 = 39713, 643 = 3A613, 683 = 40713, 691 = 41213, 733 = 44513, 743 = 45213, 769 = 47213, 773 = 47613, 787 = 48713, 811 = 4A513, 821 = 4B213, 827 = 4B813, 839 = 4C713, 863 = 51513, 877 = 52613, 929 = 56613, 941 = 57513, 947 = 57B13, 967 = 59513, 977 = 5A213, 983 = 5A813

14

3 = 314, 17 = 1314, 19 = 1514, 23 = 1914, 29 = 2114, 53 = 3B14, 59 = 4314, 73 = 5314, 83 = 5D14, 89 = 6514, 97 = 6D14, 109 = 7B14, 127 = 9114, 131 = 9514, 149 = A914, 151 = AB14, 227 = 12314, 239 = 13114, 241 = 13314, 251 = 13D14, 257 = 14514, 263 = 14B14, 277 = 15B14, 283 = 16314, 307 = 17D14, 313 = 18514, 317 = 18914, 353 = 1B314, 359 = 1B914, 373 = 1C914, 389 = 1DB14, 419 = 21D14, 421 = 22114, 431 = 22B14, 433 = 22D14, 467 = 25514, 487 = 26B14, 521 = 29314, 541 = 2A914, 557 = 2BB14, 563 = 2C314, 587 = 2DD14, 593 = 30514, 599 = 30B14, 601 = 30D14, 613 = 31B14, 631 = 33114, 643 = 33D14, 653 = 34914, 701 = 38114, 709 = 38914, 743 = 3B114, 751 = 3B914, 757 = 3C114, 761 = 3C514, 769 = 3CD14, 787 = 40314, 821 = 42914, 823 = 42B14, 857 = 45314, 859 = 45514, 863 = 45914, 877 = 46914, 881 = 46D14, 919 = 49914, 929 = 4A514

15

2 = 215, 13 = D15, 19 = 1415, 23 = 1815, 29 = 1E15, 37 = 2715, 41 = 2B15, 47 = 3215, 73 = 4D15, 83 = 5815, 89 = 5E15, 97 = 6715, 101 = 6B15, 107 = 7215, 139 = 9415, 149 = 9E15, 151 = A115, 157 = A715, 167 = B215, 193 = CD15, 199 = D415, 227 = 10215, 263 = 12815, 269 = 12E15, 271 = 13115, 281 = 13B15, 313 = 15D15, 337 = 17715, 347 = 18215, 373 = 19D15, 379 = 1A415, 383 = 1A815, 389 = 1AE15, 401 = 1BB15, 433 = 1DD15, 439 = 1E415, 449 = 1EE15, 457 = 20715, 461 = 20B15, 467 = 21215, 499 = 23415, 503 = 23815, 509 = 23E15, 521 = 24B15, 563 = 27815, 569 = 27E15, 577 = 28715, 587 = 29215, 613 = 2AD15, 619 = 2B415, 631 = 2C115, 641 = 2CB15, 647 = 2D215, 683 = 30815, 691 = 31115, 701 = 31B15, 733 = 33D15, 743 = 34815, 751 = 35115, 757 = 35715, 809 = 38E15, 821 = 39B15, 827 = 3A215, 863 = 3C815, 881 = 3DB15, 887 = 3E215, 919 = 41415, 929 = 41E15, 947 = 43215, 983 = 45815

16

-

17

2 = 217, 3 = 317, 5 = 517, 7 = 717, 11 = B17, 23 = 1617, 31 = 1E17, 37 = 2317, 41 = 2717, 61 = 3A17, 97 = 5C17, 107 = 6517, 113 = 6B17, 131 = 7C17, 139 = 8317, 167 = 9E17, 173 = A317, 193 = B617, 197 = BA17, 211 = C717, 227 = D617, 233 = DC17, 269 = FE17, 277 = G517, 283 = GB17, 311 = 11517, 313 = 11717, 317 = 11B17, 347 = 13717, 367 = 14A17, 379 = 15517, 401 = 16A17, 419 = 17B17, 431 = 18617, 439 = 18E17, 449 = 19717, 479 = 1B317, 487 = 1BB17, 499 = 1C617, 503 = 1CA17, 521 = 1DB17, 547 = 1F317, 571 = 1GA17, 607 = 21C17, 617 = 22517, 641 = 23C17, 643 = 23E17, 653 = 24717, 673 = 25A17, 677 = 25E17, 683 = 26317, 691 = 26B17, 709 = 27C17, 719 = 28517, 743 = 29C17, 751 = 2A317, 787 = 2C517, 809 = 2DA17, 821 = 2E517, 823 = 2E717, 827 = 2EB17, 839 = 2F617, 853 = 2G317, 857 = 2G717, 881 = 30E17, 887 = 31317, 907 = 32617, 911 = 32A17, 929 = 33B17, 941 = 34617, 983 = 36E17, 997 = 37B17, 1009 = 38617

18

5 = 518, 11 = B18, 29 = 1B18, 37 = 2118, 43 = 2718, 53 = 2H18, 59 = 3518, 61 = 3718, 67 = 3D18, 83 = 4B18, 101 = 5B18, 107 = 5H18, 109 = 6118, 139 = 7D18, 149 = 8518, 157 = 8D18, 163 = 9118, 173 = 9B18, 179 = 9H18, 181 = A118, 197 = AH18, 227 = CB18, 251 = DH18, 269 = EH18, 277 = F718, 283 = FD18, 293 = G518, 317 = HB18, 347 = 11518, 349 = 11718, 379 = 13118, 389 = 13B18, 397 = 14118, 419 = 15518, 421 = 15718, 461 = 17B18, 467 = 17H18, 491 = 19518, 509 = 1A518, 523 = 1B118, 541 = 1C118, 547 = 1C718, 557 = 1CH18, 563 = 1D518, 571 = 1DD18, 587 = 1EB18, 613 = 1G118, 619 = 1G718, 653 = 20518, 659 = 20B18, 661 = 20D18, 677 = 21B18, 683 = 21H18, 691 = 22718, 701 = 22H18, 733 = 24D18, 739 = 25118, 757 = 26118, 773 = 26H18, 787 = 27D18, 797 = 28518, 811 = 29118, 821 = 29B18, 827 = 29H18, 853 = 2B718, 859 = 2BD18, 877 = 2CD18, 941 = 2G518, 947 = 2GB18, 971 = 2HH18

19

2 = 219, 7 = 719, 11 = B19, 13 = D19, 23 = 1419, 29 = 1A19, 37 = 1I19, 41 = 2319, 43 = 2519, 47 = 2919, 53 = 2F19, 83 = 4719, 89 = 4D19, 113 = 5I19, 139 = 7619, 163 = 8B19, 173 = 9219, 191 = A119, 193 = A319, 239 = CB19, 251 = D419, 257 = DA19, 263 = DG19, 269 = E319, 281 = EF19, 293 = F819, 311 = G719, 317 = GD19, 337 = HE19, 347 = I519, 359 = IH19, 367 = 10619, 401 = 12219, 419 = 13119, 433 = 13F19, 443 = 14619, 449 = 14C19, 463 = 15719, 467 = 15B19, 479 = 16419, 491 = 16G19, 499 = 17519, 503 = 17919, 509 = 17F19, 521 = 18819, 569 = 1AI19, 571 = 1B119, 587 = 1BH19, 601 = 1CC19, 619 = 1DB19, 631 = 1E419, 641 = 1EE19, 643 = 1EG19, 647 = 1F119, 673 = 1G819, 677 = 1GC19, 719 = 1IG19, 727 = 20519, 739 = 20H19, 773 = 22D19, 797 = 23I19, 829 = 25C19, 857 = 27219, 877 = 28319, 883 = 28919, 919 = 2A719, 941 = 2BA19, 947 = 2BG19, 953 = 2C319, 967 = 2CH19, 977 = 2D819

20

3 = 320, 13 = D20, 17 = H20, 23 = 1320, 37 = 1H20, 43 = 2320, 47 = 2720, 53 = 2D20, 67 = 3720, 73 = 3D20, 83 = 4320, 103 = 5320, 107 = 5720, 113 = 5D20, 137 = 6H20, 157 = 7H20, 163 = 8320, 167 = 8720, 173 = 8D20, 223 = B320, 227 = B720, 233 = BD20, 257 = CH20, 263 = D320, 277 = DH20, 283 = E320, 293 = ED20, 313 = FD20, 317 = FH20, 337 = GH20, 347 = H720, 353 = HD20, 367 = I720, 383 = J320, 397 = JH20, 433 = 11D20, 443 = 12320, 463 = 13320, 467 = 13720, 487 = 14720, 503 = 15320, 547 = 17720, 557 = 17H20, 563 = 18320, 587 = 19720, 593 = 19D20, 607 = 1A720, 613 = 1AD20, 647 = 1C720, 653 = 1CD20, 673 = 1DD20, 677 = 1DH20, 683 = 1E320, 727 = 1G720, 743 = 1H320, 773 = 1ID20, 797 = 1JH20, 823 = 21320, 853 = 22D20, 857 = 22H20, 863 = 23320, 887 = 24720, 907 = 25720, 953 = 27D20, 977 = 28H20, 983 = 29320

 

In base 10 un primo non può essere a lungo periodo se diviso per 40 dà resto 1, 3, 9, 13, 27, 31, 37 o 39.

 

Supponendo vera la cosiddetta ipotesi di Riemann generalizzata, Hooley dimostrò nel 1967 che in ogni base il numero di primi che ha periodo p – 1 / k, per ogni fissato k divisore di p – 1, tende a una frazione dei primi che è un multiplo razionale della costante di Artin, dove il coefficiente moltiplicativo dipende dalla base e si annulla nel caso dei quadrati. Nelle basi non multiple di quadrati, come 2 e 10, la frazione per k = 1 tende alla costante di Artin stessa.

 

In qualsiasi base può capitare che vi siano primi a lungo periodo consecutivi; per esempio, in base 10:

  • i 6 primi consecutivi 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, e 5783 sono primi a lungo periodo;

  • a partire da 239651440411 vi sono 23 primi a lungo periodo consecutivi.

 

In ogni base b esistono infinite frazioni che contengono tutte le cifre con uguale frequenza: un esempio si ottiene cercando la frazione che ha come sviluppo 0.0123456789...b – 1. Cercare una frazione con numeratore 1, ossia un intero il cui reciproco contenga tutte le cifre con uguale frequenza è più complicato. Nel caso di 10 il minimo intero del genere è 61 e nel caso di 2 è 3.

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