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Zolotarev – Schur (costante di)

Analisi 

Dato un polinomio P(x) di grado n a coefficienti reali, tale che |P(x)| ≤ 1 per –1 ≤ x ≤ 1, A.A. Markov dimostrò nel 1877 che per la sua derivata P’(x) vale |P’(x)| ≤ n2 nello stesso intervallo e che l’uguaglianza si verifica solo per x = 1 o x = –1 e solo per i polinomi di Chebyshev di prima specie.

Schur dimostrò nel 1919 che se la derivata seconda di un polinomio siffatto di grado maggiore di 2 si annulla per un valore x0 di x, allora esiste un estremo superiore sn del rapporto Valore assoluto della derivata di P in x0 diviso per il quadrato di n minore di 1 / 2 e che il limite per n tendente a infinito è compreso tra 0.217 e 0.465.

 

P. Erdös e G. Szegö dimostrarono nel 1961 la connessione esistente tra questo limite e alcuni polinomi studiati da E.I. Zolotarev nel 1877, tramite i quali si può arrivare a calcolare il limite, noto come “costante di Zolotarev – Schur”.

Se K(x) è l’integrale ellittico completo del primo tipo, definito come Formula per la definizione dell’integrale ellittico completo del primo tipo e calcolabile come Formula per il calcolo dell’integrale ellittico completo del primo tipo, e E(x) è l’integrale ellittico completo del secondo tipo, definito come Formula per la definizione dell’integrale ellittico completo del secondo tipo e calcolabile come Formula per il calcolo dell’integrale ellittico completo del secondo tipo, dove Pn(x) è l’n-esimo polinomio di Legendre, esiste un’unica costante c tale che (K(c) – E(c))3 + (1 – c2)K(c) + (1 + c2)E(c) = 0, circa uguale a 0.9155020554.

La costante di Zolotarev – Schur si può calcolare come Formula per il calcolo della costante di Zolotarev – Schur.

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante c (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante di Zolotarev – Schur (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

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